Страница 318 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1119. Упростить выражение:

1) $2\sin(\pi - \alpha)\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) + 3\sin^2\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) - 2;$

2) $\frac{\sin(\pi + \alpha)\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)\text{tg}\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)\text{tg}(\pi + \alpha)}.$

1) Для упрощения выражения $2\sin(\pi - \alpha)\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) + 3\sin^2(\frac{\pi}{2} - \alpha) - 2$ воспользуемся формулами приведения.

Применим формулы приведения для каждого члена:

$\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$ (угол во II четверти, синус положителен).

$\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin(\alpha)$ (угол в I четверти, косинус положителен, функция меняется на кофункцию).

$\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\alpha)$ (угол в I четверти, синус положителен, функция меняется на кофункцию).

Подставим эти значения в исходное выражение:

$2\sin(\alpha) \cdot \sin(\alpha) + 3(\cos(\alpha))^2 - 2 = 2\sin^2(\alpha) + 3\cos^2(\alpha) - 2$.

Теперь упростим полученное выражение. Представим $3\cos^2(\alpha)$ как $2\cos^2(\alpha) + \cos^2(\alpha)$:

$2\sin^2(\alpha) + 2\cos^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) - 2$.

Сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha)) + \cos^2(\alpha) - 2$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, получаем:

$2 \cdot 1 + \cos^2(\alpha) - 2 = 2 + \cos^2(\alpha) - 2 = \cos^2(\alpha)$.

Ответ: $\cos^2(\alpha)$.

2) Упростим выражение $\frac{\sin(\pi + \alpha)\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha)\operatorname{tg}(\alpha - \frac{\pi}{2})}{\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)\operatorname{tg}(\pi + \alpha)}$.

Применим формулы приведения для каждого тригонометрического множителя.

Для числителя:

$\sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)$ (угол в III четверти, синус отрицательный).

$\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin(\alpha)$ (угол в III четверти, косинус отрицательный, функция меняется на кофункцию).

$\operatorname{tg}(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \operatorname{tg}(-(\frac{\pi}{2} - \alpha)) = -\operatorname{tg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = -\operatorname{ctg}(\alpha)$ (тангенс - нечетная функция, далее формула приведения).

Для знаменателя:

$\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin(\alpha)$ (угол во II четверти, косинус отрицательный, функция меняется на кофункцию).

$\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin(\alpha)$ (угол в IV четверти, косинус положительный, функция меняется на кофункцию).

$\operatorname{tg}(\pi + \alpha) = \operatorname{tg}(\alpha)$ (угол в III четверти, тангенс положительный).

Подставим упрощенные выражения в исходную дробь:

$\frac{(-\sin(\alpha)) \cdot (-\sin(\alpha)) \cdot (-\operatorname{ctg}(\alpha))}{(-\sin(\alpha)) \cdot (\sin(\alpha)) \cdot (\operatorname{tg}(\alpha))} = \frac{-\sin^2(\alpha)\operatorname{ctg}(\alpha)}{-\sin^2(\alpha)\operatorname{tg}(\alpha)}$.

Сократим дробь на $-\sin^2(\alpha)$ (при условии, что $\sin(\alpha) \neq 0$):

$\frac{\operatorname{ctg}(\alpha)}{\operatorname{tg}(\alpha)}$.

Зная, что $\operatorname{tg}(\alpha) = \frac{1}{\operatorname{ctg}(\alpha)}$, заменим тангенс в знаменателе:

$\frac{\operatorname{ctg}(\alpha)}{\frac{1}{\operatorname{ctg}(\alpha)}} = \operatorname{ctg}(\alpha) \cdot \operatorname{ctg}(\alpha) = \operatorname{ctg}^2(\alpha)$.

Ответ: $\operatorname{ctg}^2(\alpha)$.

Вычислить (1120—1121).

1120. 1) $ \sin \frac{47\pi}{6} $; 2) $ \operatorname{tg} \frac{25\pi}{4} $; 3) $ \operatorname{ctg} \frac{27\pi}{4} $; 4) $ \cos \frac{21\pi}{4} $.

1) Чтобы вычислить значение $ \sin\frac{47\pi}{6} $, мы используем свойство периодичности синуса, период которого составляет $ 2\pi $.

Сначала представим аргумент $ \frac{47\pi}{6} $ в виде, из которого можно выделить целое число периодов. Для этого разделим 47 на 6:

$ \frac{47\pi}{6} = \frac{48\pi - \pi}{6} = \frac{48\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = 8\pi - \frac{\pi}{6} $.

Теперь подставим это выражение обратно в синус:

$ \sin\frac{47\pi}{6} = \sin(8\pi - \frac{\pi}{6}) $.

Поскольку $ 8\pi $ это $ 4 \cdot 2\pi $, то есть целое число полных оборотов, мы можем его отбросить, так как $ \sin(x + 2\pi k) = \sin(x) $ для любого целого $ k $.

$ \sin(8\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin(-\frac{\pi}{6}) $.

Синус — нечетная функция, поэтому $ \sin(-x) = -\sin(x) $. Следовательно:

$ \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) $.

Табличное значение $ \sin(\frac{\pi}{6}) $ равно $ \frac{1}{2} $.

Таким образом, $ \sin\frac{47\pi}{6} = -\frac{1}{2} $.

Ответ: $ -\frac{1}{2} $

2) Для вычисления $ \text{tg}\frac{25\pi}{4} $ воспользуемся периодичностью тангенса. Период тангенса равен $ \pi $.

Представим угол $ \frac{25\pi}{4} $, выделив целое число периодов:

$ \frac{25\pi}{4} = \frac{24\pi + \pi}{4} = \frac{24\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = 6\pi + \frac{\pi}{4} $.

Подставим это в тангенс:

$ \text{tg}\frac{25\pi}{4} = \text{tg}(6\pi + \frac{\pi}{4}) $.

Так как $ \text{tg}(x + \pi k) = \text{tg}(x) $ для любого целого $ k $, мы можем отбросить $ 6\pi $:

$ \text{tg}(6\pi + \frac{\pi}{4}) = \text{tg}(\frac{\pi}{4}) $.

Табличное значение $ \text{tg}(\frac{\pi}{4}) $ равно 1.

Ответ: $ 1 $

3) Для вычисления $ \text{ctg}\frac{27\pi}{4} $ воспользуемся периодичностью котангенса. Период котангенса равен $ \pi $.

Представим угол $ \frac{27\pi}{4} $, выделив целое число периодов:

$ \frac{27\pi}{4} = \frac{24\pi + 3\pi}{4} = \frac{24\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = 6\pi + \frac{3\pi}{4} $.

Подставим это в котангенс:

$ \text{ctg}\frac{27\pi}{4} = \text{ctg}(6\pi + \frac{3\pi}{4}) $.

Так как $ \text{ctg}(x + \pi k) = \text{ctg}(x) $ для любого целого $ k $, мы можем отбросить $ 6\pi $:

$ \text{ctg}(6\pi + \frac{3\pi}{4}) = \text{ctg}(\frac{3\pi}{4}) $.

Для вычисления $ \text{ctg}(\frac{3\pi}{4}) $ используем формулу приведения $ \text{ctg}(\pi - x) = -\text{ctg}(x) $:

$ \text{ctg}(\frac{3\pi}{4}) = \text{ctg}(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) $.

Табличное значение $ \text{ctg}(\frac{\pi}{4}) $ равно 1.

Следовательно, $ \text{ctg}\frac{27\pi}{4} = -1 $.

Ответ: $ -1 $

4) Для вычисления $ \cos\frac{21\pi}{4} $ воспользуемся периодичностью косинуса. Период косинуса равен $ 2\pi $.

Представим угол $ \frac{21\pi}{4} $, выделив целое число полных оборотов ($ 2\pi $):

$ \frac{21\pi}{4} = \frac{16\pi + 5\pi}{4} = \frac{16\pi}{4} + \frac{5\pi}{4} = 4\pi + \frac{5\pi}{4} $.

Подставим это в косинус:

$ \cos\frac{21\pi}{4} = \cos(4\pi + \frac{5\pi}{4}) $.

Так как $ \cos(x + 2\pi k) = \cos(x) $ для любого целого $ k $, мы можем отбросить $ 4\pi $:

$ \cos(4\pi + \frac{5\pi}{4}) = \cos(\frac{5\pi}{4}) $.

Для вычисления $ \cos(\frac{5\pi}{4}) $ используем формулу приведения $ \cos(\pi + x) = -\cos(x) $:

$ \cos(\frac{5\pi}{4}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) $.

Табличное значение $ \cos(\frac{\pi}{4}) $ равно $ \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Следовательно, $ \cos\frac{21\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Ответ: $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $

1121. 1) $\cos\frac{23\pi}{4} - \sin\frac{15\pi}{4};$

2) $\sin\frac{25\pi}{3} - \operatorname{tg}\frac{10\pi}{3};$

3) $3\cos(3660^\circ) + \sin(-1560^\circ);$

4) $\cos(-945^\circ) + \operatorname{tg}(1035^\circ).$

1) Для решения данного выражения воспользуемся периодичностью тригонометрических функций. Период синуса и косинуса равен $2\pi$.
Сначала упростим аргумент функции $\cos\frac{23\pi}{4}$. Представим $\frac{23\pi}{4}$ в виде $ \frac{24\pi - \pi}{4} = 6\pi - \frac{\pi}{4} $.
Так как $6\pi$ - это три полных периода ($3 \cdot 2\pi$), мы можем его отбросить, используя свойство периодичности $\cos(\alpha + 2\pi k) = \cos(\alpha)$:
$ \cos\frac{23\pi}{4} = \cos(6\pi - \frac{\pi}{4}) = \cos(-\frac{\pi}{4}) $.
Косинус является четной функцией, то есть $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, поэтому:
$ \cos(-\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Теперь упростим аргумент функции $\sin\frac{15\pi}{4}$. Представим $\frac{15\pi}{4}$ в виде $ \frac{16\pi - \pi}{4} = 4\pi - \frac{\pi}{4} $.
$ \sin\frac{15\pi}{4} = \sin(4\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin(-\frac{\pi}{4}) $.
Так как синус - нечетная функция, $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$, то:
$ \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Подставим полученные значения в исходное выражение:
$ \cos\frac{23\pi}{4} - \sin\frac{15\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} $.
Ответ: $\sqrt{2}$

2) Упростим каждый член выражения по отдельности.
Найдем значение $\sin^2\frac{25\pi}{3}$. Период синуса равен $2\pi$.
Представим аргумент $\frac{25\pi}{3}$ как $ \frac{24\pi + \pi}{3} = 8\pi + \frac{\pi}{3} $.
$ \sin(\frac{25\pi}{3}) = \sin(8\pi + \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Тогда $ \sin^2(\frac{25\pi}{3}) = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4} $.

Теперь найдем значение $\tg\frac{10\pi}{3}$. Период тангенса равен $\pi$.
Представим аргумент $\frac{10\pi}{3}$ как $ \frac{9\pi + \pi}{3} = 3\pi + \frac{\pi}{3} $.
$ \tg(\frac{10\pi}{3}) = \tg(3\pi + \frac{\pi}{3}) = \tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} $.

Подставим найденные значения в исходное выражение:
$ \sin^2\frac{25\pi}{3} - \tg\frac{10\pi}{3} = \frac{3}{4} - \sqrt{3} $.
Ответ: $\frac{3}{4} - \sqrt{3}$

3) Для решения используем периодичность тригонометрических функций ($360^\circ$) и свойства четности/нечетности.
Рассмотрим $3\cos3660^\circ$.
Угол $3660^\circ$ можно представить как $3660^\circ = 10 \cdot 360^\circ + 60^\circ$.
$ \cos(3660^\circ) = \cos(10 \cdot 360^\circ + 60^\circ) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} $.
Следовательно, $ 3\cos(3660^\circ) = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2} $.

Рассмотрим $\sin(-1560^\circ)$.
Синус - нечетная функция, поэтому $\sin(-1560^\circ) = -\sin(1560^\circ)$.
Угол $1560^\circ$ можно представить как $1560^\circ = 4 \cdot 360^\circ + 120^\circ = 1440^\circ + 120^\circ$.
$ \sin(1560^\circ) = \sin(4 \cdot 360^\circ + 120^\circ) = \sin(120^\circ) $.
Используя формулу приведения, $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Значит, $\sin(-1560^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь сложим полученные значения:
$ 3\cos3660^\circ + \sin(-1560^\circ) = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 - \sqrt{3}}{2} $.
Ответ: $\frac{3 - \sqrt{3}}{2}$

4) Решим выражение, упростив каждый его компонент.
Найдем значение $\cos(-945^\circ)$.
Косинус - четная функция, поэтому $\cos(-945^\circ) = \cos(945^\circ)$.
Период косинуса равен $360^\circ$. Представим $945^\circ$ как $945^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 225^\circ = 720^\circ + 225^\circ$.
$ \cos(945^\circ) = \cos(2 \cdot 360^\circ + 225^\circ) = \cos(225^\circ) $.
Применим формулу приведения: $\cos(225^\circ) = \cos(180^\circ + 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Найдем значение $\tg(1035^\circ)$.
Период тангенса равен $180^\circ$. Представим $1035^\circ$ как $1035^\circ = 5 \cdot 180^\circ + 135^\circ = 900^\circ + 135^\circ$.
$ \tg(1035^\circ) = \tg(5 \cdot 180^\circ + 135^\circ) = \tg(135^\circ) $.
Применим формулу приведения: $\tg(135^\circ) = \tg(180^\circ - 45^\circ) = -\tg(45^\circ) = -1$.

Сложим полученные результаты:
$ \cos(-945^\circ) + \tg(1035^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + (-1) = -1 - \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Ответ: $-1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Упростить выражение (1122—1123).

1122.

1) $(\frac{1 + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha} - \sin \alpha) \frac{1}{2} \text{tg} \alpha;$

2) $\text{ctg} \alpha (\frac{1 + \sin^2 \alpha}{\cos \alpha} - \cos \alpha)$

1) Упростим выражение $ \left(\frac{1+\cos^2\alpha}{\sin\alpha} - \sin\alpha\right) \frac{1}{2}\tg\alpha $.

Сначала выполним действие в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $ \sin\alpha $:
$ \frac{1+\cos^2\alpha}{\sin\alpha} - \sin\alpha = \frac{1+\cos^2\alpha - \sin\alpha \cdot \sin\alpha}{\sin\alpha} = \frac{1+\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\sin\alpha} $

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $. Из него можно выразить $ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha $. Подставим это выражение в числитель полученной дроби:
$ 1+\cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 + \cos^2\alpha - (1 - \cos^2\alpha) = 1 + \cos^2\alpha - 1 + \cos^2\alpha = 2\cos^2\alpha $

Таким образом, выражение в скобках равно:
$ \frac{2\cos^2\alpha}{\sin\alpha} $

Теперь умножим полученный результат на $ \frac{1}{2}\tg\alpha $. Вспомним, что по определению $ \tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $:
$ \left(\frac{2\cos^2\alpha}{\sin\alpha}\right) \cdot \frac{1}{2}\tg\alpha = \frac{2\cos^2\alpha}{\sin\alpha} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе ($2$, $ \sin\alpha $ и $ \cos\alpha $):
$ \frac{\cancel{2}\cos^{\cancel{2}}\alpha}{\cancel{\sin\alpha}} \cdot \frac{1}{\cancel{2}} \cdot \frac{\cancel{\sin\alpha}}{\cancel{\cos\alpha}} = \cos\alpha $

Ответ: $ \cos\alpha $

2) Упростим выражение $ \ctg\alpha \left(\frac{1+\sin^2\alpha}{\cos\alpha} - \cos\alpha\right) $.

Упростим выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю $ \cos\alpha $:
$ \frac{1+\sin^2\alpha}{\cos\alpha} - \cos\alpha = \frac{1+\sin^2\alpha - \cos\alpha \cdot \cos\alpha}{\cos\alpha} = \frac{1+\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}{\cos\alpha} $

Применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, из которого следует, что $ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha $. Подставим это в числитель:
$ 1+\sin^2\alpha - \cos^2\alpha = 1 + \sin^2\alpha - (1 - \sin^2\alpha) = 1 + \sin^2\alpha - 1 + \sin^2\alpha = 2\sin^2\alpha $

Значит, выражение в скобках равно:
$ \frac{2\sin^2\alpha}{\cos\alpha} $

Теперь умножим полученный результат на $ \ctg\alpha $. По определению $ \ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $:
$ \ctg\alpha \cdot \left(\frac{2\sin^2\alpha}{\cos\alpha}\right) = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \frac{2\sin^2\alpha}{\cos\alpha} $

Сократим $ \cos\alpha $ в числителе и знаменателе, а также $ \sin\alpha $:
$ \frac{\cancel{\cos\alpha}}{\cancel{\sin\alpha}} \cdot \frac{2\sin^{\cancel{2}}\alpha}{\cancel{\cos\alpha}} = 2\sin\alpha $

Ответ: $ 2\sin\alpha $

1123. 1) $ \frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)-\cos\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)+\cos\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)} $;

2) $ \frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)+\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)-\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)} $.

1) Упростим выражение $\frac{\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) - \cos(\frac{\pi}{4} + \alpha)}{\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) + \cos(\frac{\pi}{4} + \alpha)}$

Для упрощения воспользуемся формулой приведения $\cos(x) = \sin(\frac{\pi}{2} - x)$.

Преобразуем выражение $\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha)$:

$\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} + \alpha)) = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} - \alpha) = \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходную дробь:

$\frac{\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) - \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)}{\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) + \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)}$

Далее применим формулы преобразования суммы и разности синусов в произведение:

• $\sin A - \sin B = 2\cos(\frac{A+B}{2})\sin(\frac{A-B}{2})$
• $\sin A + \sin B = 2\sin(\frac{A+B}{2})\cos(\frac{A-B}{2})$

В нашем случае аргументы $A = \frac{\pi}{4} + \alpha$ и $B = \frac{\pi}{4} - \alpha$.

Найдём их полусумму и полуразность:

$\frac{A+B}{2} = \frac{(\frac{\pi}{4} + \alpha) + (\frac{\pi}{4} - \alpha)}{2} = \frac{2\pi/4}{2} = \frac{\pi}{4}$

$\frac{A-B}{2} = \frac{(\frac{\pi}{4} + \alpha) - (\frac{\pi}{4} - \alpha)}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha$

Подставим эти значения в формулы и в нашу дробь:

$\frac{2\cos(\frac{\pi}{4})\sin(\alpha)}{2\sin(\frac{\pi}{4})\cos(\alpha)} = \frac{\cos(\frac{\pi}{4})}{\sin(\frac{\pi}{4})} \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$

Зная, что $\frac{\cos(\frac{\pi}{4})}{\sin(\frac{\pi}{4})} = \cot(\frac{\pi}{4}) = 1$ и $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha$, получаем:

$1 \cdot \tan\alpha = \tan\alpha$

Ответ: $\tan\alpha$

2) Упростим выражение $\frac{\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha) + \cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)}{\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha) - \cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)}$

Аналогично первому пункту, воспользуемся формулой приведения $\cos(x) = \sin(\frac{\pi}{2} - x)$.

Преобразуем выражение $\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)$:

$\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} - \alpha)) = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \alpha) = \sin(\frac{\pi}{4} + \alpha)$.

Подставим полученное выражение в исходную дробь:

$\frac{\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha) + \sin(\frac{\pi}{4} + \alpha)}{\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha) - \sin(\frac{\pi}{4} + \alpha)}$

Применим те же формулы преобразования суммы и разности синусов в произведение.

В этом случае аргументы $A = \frac{\pi}{4} - \alpha$ и $B = \frac{\pi}{4} + \alpha$.

Найдём их полусумму и полуразность:

$\frac{A+B}{2} = \frac{(\frac{\pi}{4} - \alpha) + (\frac{\pi}{4} + \alpha)}{2} = \frac{2\pi/4}{2} = \frac{\pi}{4}$

$\frac{A-B}{2} = \frac{(\frac{\pi}{4} - \alpha) - (\frac{\pi}{4} + \alpha)}{2} = \frac{-2\alpha}{2} = -\alpha$

Подставим эти значения в нашу дробь:

$\frac{2\sin(\frac{A+B}{2})\cos(\frac{A-B}{2})}{2\cos(\frac{A+B}{2})\sin(\frac{A-B}{2})} = \frac{2\sin(\frac{\pi}{4})\cos(-\alpha)}{2\cos(\frac{\pi}{4})\sin(-\alpha)}$

Используя свойства чётности косинуса, $\cos(-x) = \cos(x)$, и нечётности синуса, $\sin(-x) = -\sin(x)$, получаем:

$\frac{\sin(\frac{\pi}{4})\cos(\alpha)}{\cos(\frac{\pi}{4})(-\sin(\alpha))} = -\frac{\sin(\frac{\pi}{4})}{\cos(\frac{\pi}{4})} \cdot \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$

Зная, что $\frac{\sin(\frac{\pi}{4})}{\cos(\frac{\pi}{4})} = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ и $\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \cot\alpha$, получаем:

$-(1 \cdot \cot\alpha) = -\cot\alpha$

Ответ: $-\cot\alpha$

1124. Доказать тождество:

1) $1 + \mathrm{tg}\alpha \mathrm{tg}\beta = \frac{\cos(\alpha - \beta)}{\cos\alpha \cos\beta}$;

2) $\mathrm{tg}\alpha - \mathrm{tg}\beta = \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos\alpha \cos\beta}$.

1)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Воспользуемся определением тангенса: $\text{tg}\,x = \frac{\sin x}{\cos x}$.

$1 + \text{tg}\,\alpha \text{tg}\,\beta = 1 + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{\sin\beta}{\cos\beta}$

Приведем выражение к общему знаменателю $\cos\alpha\cos\beta$:

$1 + \frac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta} = \frac{\cos\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta} + \frac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta} = \frac{\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}$

Числитель дроби представляет собой формулу косинуса разности двух углов: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$.

Подставим эту формулу в полученное выражение:

$\frac{\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta} = \frac{\cos(\alpha - \beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$

Полученное выражение идентично правой части исходного тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Доказано, что $1 + \text{tg}\,\alpha \text{tg}\,\beta = \frac{\cos(\alpha - \beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$.

2)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Снова используем определение тангенса:

$\text{tg}\,\alpha - \text{tg}\,\beta = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\sin\beta}{\cos\beta}$

Приведем дроби к общему знаменателю $\cos\alpha\cos\beta$:

$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{\sin\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta} - \frac{\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta} = \frac{\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}$

Числитель дроби представляет собой формулу синуса разности двух углов: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$.

Подставим эту формулу в полученное выражение:

$\frac{\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta} = \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$

Полученное выражение идентично правой части исходного тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Доказано, что $\text{tg}\,\alpha - \text{tg}\,\beta = \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$.

Вычислить (1125–1126).

1125. 1) $2\sin 6\alpha \cos^2\left(\frac{\pi}{4} + 3\alpha\right) - \sin 6\alpha$ при $\alpha=\frac{5\pi}{24}$;

2) $\cos 3\alpha + 2\cos(\pi - 3\alpha)\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - 1,5\alpha\right)$ при $\alpha=\frac{5\pi}{36}$.

1) Сначала упростим данное выражение $2\sin(6\alpha)\cos^2\left(\frac{\pi}{4} + 3\alpha\right) - \sin(6\alpha)$.

Вынесем общий множитель $\sin(6\alpha)$ за скобки:

$\sin(6\alpha) \left( 2\cos^2\left(\frac{\pi}{4} + 3\alpha\right) - 1 \right)$

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$.

В нашем случае $x = \frac{\pi}{4} + 3\alpha$. Тогда выражение в скобках равно:

$2\cos^2\left(\frac{\pi}{4} + 3\alpha\right) - 1 = \cos\left(2 \cdot \left(\frac{\pi}{4} + 3\alpha\right)\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{4} + 6\alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} + 6\alpha\right)$

Теперь применим формулу приведения $\cos\left(\frac{\pi}{2} + y\right) = -\sin(y)$.

$\cos\left(\frac{\pi}{2} + 6\alpha\right) = -\sin(6\alpha)$

Подставим это обратно в исходное выражение:

$\sin(6\alpha) \cdot (-\sin(6\alpha)) = -\sin^2(6\alpha)$

Теперь, когда выражение упрощено, подставим в него значение $\alpha = \frac{5\pi}{24}$.

Найдем значение $6\alpha$:

$6\alpha = 6 \cdot \frac{5\pi}{24} = \frac{30\pi}{24} = \frac{5\pi}{4}$

Вычислим значение выражения:

$-\sin^2\left(\frac{5\pi}{4}\right)$

Так как $\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, то:

$-\sin^2\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = -\left(\frac{2}{4}\right) = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$

2) Рассмотрим выражение $\cos(3\alpha) + 2\cos(\pi - 3\alpha)\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - 1.5\alpha\right)$ и упростим его.

Используем формулу приведения $\cos(\pi - x) = -\cos(x)$:

$\cos(\pi - 3\alpha) = -\cos(3\alpha)$

Подставим это в выражение:

$\cos(3\alpha) + 2(-\cos(3\alpha))\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - 1.5\alpha\right) = \cos(3\alpha) - 2\cos(3\alpha)\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - 1.5\alpha\right)$

Вынесем общий множитель $\cos(3\alpha)$ за скобки:

$\cos(3\alpha) \left( 1 - 2\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - 1.5\alpha\right) \right)$

Выражение в скобках соответствует формуле косинуса двойного угла: $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$.

В нашем случае $x = \frac{\pi}{4} - 1.5\alpha$. Тогда:

$1 - 2\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - 1.5\alpha\right) = \cos\left(2 \cdot \left(\frac{\pi}{4} - 1.5\alpha\right)\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{4} - 3\alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 3\alpha\right)$

Теперь применим формулу приведения $\cos\left(\frac{\pi}{2} - y\right) = \sin(y)$:

$\cos\left(\frac{\pi}{2} - 3\alpha\right) = \sin(3\alpha)$

Подставим это обратно в упрощенное выражение:

$\cos(3\alpha) \cdot \sin(3\alpha)$

Воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin(2y) = 2\sin(y)\cos(y)$, откуда $\sin(y)\cos(y) = \frac{1}{2}\sin(2y)$.

$\cos(3\alpha)\sin(3\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 3\alpha) = \frac{1}{2}\sin(6\alpha)$

Теперь подставим значение $\alpha = \frac{5\pi}{36}$.

Найдем значение $6\alpha$:

$6\alpha = 6 \cdot \frac{5\pi}{36} = \frac{30\pi}{36} = \frac{5\pi}{6}$

Вычислим значение выражения:

$\frac{1}{2}\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)$

Так как $\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$, то:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

1126. 1) $\frac{\sqrt{3}(\cos75^\circ - \cos15^\circ)}{1-2\sin^215^\circ}$

2) $\frac{2\cos^2\frac{\pi}{8}-1}{1+8\sin^2\frac{\pi}{8}\cos^2\frac{\pi}{8}}$

1) Для решения выражения $\frac{\sqrt{3}(\cos{75^\circ} - \cos{15^\circ})}{1 - 2\sin^2{15^\circ}}$ воспользуемся тригонометрическими формулами, упростив числитель и знаменатель по отдельности.

Сначала преобразуем числитель $\sqrt{3}(\cos{75^\circ} - \cos{15^\circ})$. Применим формулу разности косинусов $\cos{\alpha} - \cos{\beta} = -2\sin{\frac{\alpha+\beta}{2}}\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}}$.

Подставив $\alpha = 75^\circ$ и $\beta = 15^\circ$, получаем:

$\cos{75^\circ} - \cos{15^\circ} = -2\sin{\frac{75^\circ+15^\circ}{2}}\sin{\frac{75^\circ-15^\circ}{2}} = -2\sin{\frac{90^\circ}{2}}\sin{\frac{60^\circ}{2}} = -2\sin{45^\circ}\sin{30^\circ}$.

Зная, что $\sin{45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin{30^\circ} = \frac{1}{2}$, находим значение разности:

$-2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, весь числитель равен $\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\sqrt{6}}{2}$.

Теперь преобразуем знаменатель $1 - 2\sin^2{15^\circ}$. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos{2\alpha} = 1 - 2\sin^2{\alpha}$.

При $\alpha = 15^\circ$ получаем:

$1 - 2\sin^2{15^\circ} = \cos(2 \cdot 15^\circ) = \cos{30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Наконец, подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходное выражение:

$\frac{-\frac{\sqrt{6}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{\sqrt{6}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = -\sqrt{\frac{6}{3}} = -\sqrt{2}$.

Ответ: $-\sqrt{2}$

2) Для решения выражения $\frac{2\cos^2{\frac{\pi}{8}} - 1}{1 + 8\sin^2{\frac{\pi}{8}}\cos^2{\frac{\pi}{8}}}$ также воспользуемся тригонометрическими формулами для числителя и знаменателя.

Сначала преобразуем числитель $2\cos^2{\frac{\pi}{8}} - 1$. Это одна из форм формулы косинуса двойного угла $\cos{2\alpha} = 2\cos^2{\alpha} - 1$.

При $\alpha = \frac{\pi}{8}$ получаем:

$2\cos^2{\frac{\pi}{8}} - 1 = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь преобразуем знаменатель $1 + 8\sin^2{\frac{\pi}{8}}\cos^2{\frac{\pi}{8}}$. Используем формулу синуса двойного угла $\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$.

Выражение $8\sin^2{\frac{\pi}{8}}\cos^2{\frac{\pi}{8}}$ можно переписать как $2 \cdot (4\sin^2{\frac{\pi}{8}}\cos^2{\frac{\pi}{8}}) = 2 \cdot (2\sin{\frac{\pi}{8}}\cos{\frac{\pi}{8}})^2$.

Применив формулу синуса двойного угла для выражения в скобках с $\alpha = \frac{\pi}{8}$, получаем:

$2 \cdot (\sin(2 \cdot \frac{\pi}{8}))^2 = 2 \cdot (\sin(\frac{\pi}{4}))^2$.

Зная, что $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, находим значение выражения:

$2 \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 2 \cdot \frac{2}{4} = 1$.

Таким образом, знаменатель равен $1 + 1 = 2$.

Теперь подставим найденные значения числителя и знаменателя в исходную дробь:

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{4}$

1127. Доказать тождество:

1) $\frac{2\sin2\alpha - \sin4\alpha}{2\sin2\alpha + \sin4\alpha} = \text{tg}^2\alpha;$

2) $\frac{2\cos2\alpha - \sin4\alpha}{2\cos2\alpha + \sin4\alpha} = \text{tg}^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right).$

1) Докажем тождество: $\frac{2\sin2\alpha - \sin4\alpha}{2\sin2\alpha + \sin4\alpha} = \text{tg}^2\alpha$.

Преобразуем левую часть равенства. Для этого используем формулу синуса двойного угла для $\sin4\alpha$: $\sin4\alpha = 2\sin2\alpha\cos2\alpha$.

Подставим это выражение в исходную дробь:

$\frac{2\sin2\alpha - 2\sin2\alpha\cos2\alpha}{2\sin2\alpha + 2\sin2\alpha\cos2\alpha}$

Вынесем общий множитель $2\sin2\alpha$ в числителе и в знаменателе:

$\frac{2\sin2\alpha(1 - \cos2\alpha)}{2\sin2\alpha(1 + \cos2\alpha)}$

Сократим дробь на $2\sin2\alpha$ (при условии, что $\sin2\alpha \neq 0$, иначе выражение не определено):

$\frac{1 - \cos2\alpha}{1 + \cos2\alpha}$

Теперь воспользуемся формулами понижения степени, которые являются следствиями из формулы косинуса двойного угла:

$1 - \cos2\alpha = 2\sin^2\alpha$

$1 + \cos2\alpha = 2\cos^2\alpha$

Подставим эти выражения в нашу дробь:

$\frac{2\sin^2\alpha}{2\cos^2\alpha} = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$

По определению тангенса, $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, поэтому $\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = (\text{tg}\alpha)^2 = \text{tg}^2\alpha$.

Таким образом, левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество $\frac{2\sin2\alpha - \sin4\alpha}{2\sin2\alpha + \sin4\alpha} = \text{tg}^2\alpha$ доказано.

2) Докажем тождество: $\frac{2\cos2\alpha - \sin4\alpha}{2\cos2\alpha + \sin4\alpha} = \text{tg}^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)$.

Преобразуем левую часть равенства. Используем формулу синуса двойного угла $\sin4\alpha = 2\sin2\alpha\cos2\alpha$.

$\frac{2\cos2\alpha - 2\sin2\alpha\cos2\alpha}{2\cos2\alpha + 2\sin2\alpha\cos2\alpha}$

Вынесем общий множитель $2\cos2\alpha$ за скобки в числителе и знаменателе:

$\frac{2\cos2\alpha(1 - \sin2\alpha)}{2\cos2\alpha(1 + \sin2\alpha)}$

Сократим дробь на $2\cos2\alpha$ (при условии, что $\cos2\alpha \neq 0$):

$\frac{1 - \sin2\alpha}{1 + \sin2\alpha}$

Используем формулу приведения $\sin x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$. Тогда $\sin2\alpha = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right)$.

Подставим это в наше выражение:

$\frac{1 - \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right)}{1 + \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right)}$

Теперь применим формулы понижения степени: $1 - \cos(2y) = 2\sin^2(y)$ и $1 + \cos(2y) = 2\cos^2(y)$. В нашем случае аргумент косинуса равен $\frac{\pi}{2} - 2\alpha$. Если положить $2y = \frac{\pi}{2} - 2\alpha$, то $y = \frac{\pi}{4} - \alpha$.

Применяя формулы, получаем:

$\frac{2\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)}{2\cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)}$

Сокращаем на 2 и используем определение тангенса $\text{tg}y = \frac{\sin y}{\cos y}$:

$\frac{\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)}{\cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)} = \text{tg}^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество $\frac{2\cos2\alpha - \sin4\alpha}{2\cos2\alpha + \sin4\alpha} = \text{tg}^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)$ доказано.

1128. Показать, что:

1) $\sin 35^\circ + \sin 25^\circ = \cos 5^\circ$;

2) $\cos 12^\circ - \cos 48^\circ = \sin 18^\circ$.

1) Требуется доказать тождество: $\sin 35^\circ + \sin 25^\circ = \cos 5^\circ$.

Для преобразования левой части равенства воспользуемся формулой суммы синусов:

$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$

Применим эту формулу, подставив $\alpha = 35^\circ$ и $\beta = 25^\circ$:

$\sin 35^\circ + \sin 25^\circ = 2 \sin\left(\frac{35^\circ + 25^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{35^\circ - 25^\circ}{2}\right)$

Выполним вычисления в аргументах:

$2 \sin\left(\frac{60^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{10^\circ}{2}\right) = 2 \sin(30^\circ) \cos(5^\circ)$

Мы знаем, что значение синуса $30^\circ$ равно $\frac{1}{2}$. Подставим это значение в выражение:

$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos(5^\circ) = 1 \cdot \cos(5^\circ) = \cos(5^\circ)$

В результате преобразований мы получили, что левая часть равенства равна правой: $\cos 5^\circ = \cos 5^\circ$. Тождество доказано.

Ответ: Равенство доказано.

2) Требуется доказать тождество: $\cos 12^\circ - \cos 48^\circ = \sin 18^\circ$.

Для преобразования левой части равенства воспользуемся формулой разности косинусов:

$\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$

Применим эту формулу, подставив $\alpha = 12^\circ$ и $\beta = 48^\circ$:

$\cos 12^\circ - \cos 48^\circ = -2 \sin\left(\frac{12^\circ + 48^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{12^\circ - 48^\circ}{2}\right)$

Выполним вычисления в аргументах:

$-2 \sin\left(\frac{60^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{-36^\circ}{2}\right) = -2 \sin(30^\circ) \sin(-18^\circ)$

Используем свойство нечетности функции синус, согласно которому $\sin(-x) = -\sin(x)$, а также значение $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$:

$-2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-\sin(18^\circ)) = -1 \cdot (-\sin(18^\circ)) = \sin(18^\circ)$

В результате преобразований мы получили, что левая часть равенства равна правой: $\sin 18^\circ = \sin 18^\circ$. Тождество доказано.

Ответ: Равенство доказано.

1129. Упростить выражение $(\frac{\cos\beta}{\sin\alpha} + \frac{\sin\beta}{\cos\alpha}) \cdot \frac{1 - \cos4\alpha}{\cos(\pi - \beta + \alpha)}$

Для упрощения данного выражения выполним преобразования по частям. Сначала преобразуем первый множитель, представляющий собой сумму двух дробей в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $\sin\alpha\cos\alpha$:

$\frac{\cos\beta}{\sin\alpha} + \frac{\sin\beta}{\cos\alpha} = \frac{\cos\beta\cos\alpha + \sin\beta\sin\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}$

В числителе мы видим формулу косинуса разности углов: $\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$. Применив ее, получаем:

$\frac{\cos(\alpha - \beta)}{\sin\alpha\cos\alpha}$

Так как $\cos(-x) = \cos(x)$, то $\cos(\alpha - \beta) = \cos(\beta - \alpha)$. Для удобства дальнейших сокращений будем использовать форму $\cos(\beta - \alpha)$.

Таким образом, первый множитель равен: $\frac{\cos(\beta - \alpha)}{\sin\alpha\cos\alpha}$.

Теперь преобразуем второй множитель $\frac{1 - \cos4\alpha}{\cos(\pi - \beta + \alpha)}$.

Числитель $1 - \cos4\alpha$ можно упростить, используя формулу понижения степени (или формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2x$): $1 - \cos(2x) = 2\sin^2x$. Полагая $x = 2\alpha$, получаем:

$1 - \cos4\alpha = 2\sin^2(2\alpha)$

Знаменатель $\cos(\pi - \beta + \alpha)$ преобразуем с помощью формулы приведения. Сгруппируем слагаемые: $\cos(\pi - (\beta - \alpha))$. Так как $\cos(\pi - x) = -\cos x$, то:

$\cos(\pi - (\beta - \alpha)) = -\cos(\beta - \alpha)$

Итак, второй множитель равен: $\frac{2\sin^2(2\alpha)}{-\cos(\beta - \alpha)}$.

Теперь перемножим преобразованные части выражения:

$\left(\frac{\cos(\beta - \alpha)}{\sin\alpha\cos\alpha}\right) \cdot \left(\frac{2\sin^2(2\alpha)}{-\cos(\beta - \alpha)}\right) = -\frac{\cos(\beta - \alpha) \cdot 2\sin^2(2\alpha)}{\sin\alpha\cos\alpha \cdot \cos(\beta - \alpha)}$

Сокращаем дробь на $\cos(\beta - \alpha)$ (при условии, что $\cos(\beta - \alpha) \neq 0$):

$-\frac{2\sin^2(2\alpha)}{\sin\alpha\cos\alpha}$

Используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, откуда $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{\sin(2\alpha)}{2}$. Подставим это в знаменатель:

$-\frac{2\sin^2(2\alpha)}{\frac{\sin(2\alpha)}{2}} = -2\sin^2(2\alpha) \cdot \frac{2}{\sin(2\alpha)}$

Сокращаем на $\sin(2\alpha)$ (при условии, что $\sin(2\alpha) \neq 0$):

$-2\sin(2\alpha) \cdot 2 = -4\sin(2\alpha)$

Ответ: $-4\sin(2\alpha)$