Номер 1128, страница 318 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1128. Показать, что:

1) $\sin 35^\circ + \sin 25^\circ = \cos 5^\circ$;

2) $\cos 12^\circ - \cos 48^\circ = \sin 18^\circ$.

1) Требуется доказать тождество: $\sin 35^\circ + \sin 25^\circ = \cos 5^\circ$.

Для преобразования левой части равенства воспользуемся формулой суммы синусов:

$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$

Применим эту формулу, подставив $\alpha = 35^\circ$ и $\beta = 25^\circ$:

$\sin 35^\circ + \sin 25^\circ = 2 \sin\left(\frac{35^\circ + 25^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{35^\circ - 25^\circ}{2}\right)$

Выполним вычисления в аргументах:

$2 \sin\left(\frac{60^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{10^\circ}{2}\right) = 2 \sin(30^\circ) \cos(5^\circ)$

Мы знаем, что значение синуса $30^\circ$ равно $\frac{1}{2}$. Подставим это значение в выражение:

$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos(5^\circ) = 1 \cdot \cos(5^\circ) = \cos(5^\circ)$

В результате преобразований мы получили, что левая часть равенства равна правой: $\cos 5^\circ = \cos 5^\circ$. Тождество доказано.

Ответ: Равенство доказано.

2) Требуется доказать тождество: $\cos 12^\circ - \cos 48^\circ = \sin 18^\circ$.

Для преобразования левой части равенства воспользуемся формулой разности косинусов:

$\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$

Применим эту формулу, подставив $\alpha = 12^\circ$ и $\beta = 48^\circ$:

$\cos 12^\circ - \cos 48^\circ = -2 \sin\left(\frac{12^\circ + 48^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{12^\circ - 48^\circ}{2}\right)$

Выполним вычисления в аргументах:

$-2 \sin\left(\frac{60^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{-36^\circ}{2}\right) = -2 \sin(30^\circ) \sin(-18^\circ)$

Используем свойство нечетности функции синус, согласно которому $\sin(-x) = -\sin(x)$, а также значение $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$:

$-2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-\sin(18^\circ)) = -1 \cdot (-\sin(18^\circ)) = \sin(18^\circ)$

В результате преобразований мы получили, что левая часть равенства равна правой: $\sin 18^\circ = \sin 18^\circ$. Тождество доказано.

Ответ: Равенство доказано.