Номер 1123, страница 318 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1123. 1) $ \frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)-\cos\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)+\cos\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)} $;

2) $ \frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)+\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)-\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)} $.

1) Упростим выражение $\frac{\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) - \cos(\frac{\pi}{4} + \alpha)}{\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) + \cos(\frac{\pi}{4} + \alpha)}$

Для упрощения воспользуемся формулой приведения $\cos(x) = \sin(\frac{\pi}{2} - x)$.

Преобразуем выражение $\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha)$:

$\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} + \alpha)) = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} - \alpha) = \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходную дробь:

$\frac{\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) - \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)}{\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) + \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)}$

Далее применим формулы преобразования суммы и разности синусов в произведение:

• $\sin A - \sin B = 2\cos(\frac{A+B}{2})\sin(\frac{A-B}{2})$
• $\sin A + \sin B = 2\sin(\frac{A+B}{2})\cos(\frac{A-B}{2})$

В нашем случае аргументы $A = \frac{\pi}{4} + \alpha$ и $B = \frac{\pi}{4} - \alpha$.

Найдём их полусумму и полуразность:

$\frac{A+B}{2} = \frac{(\frac{\pi}{4} + \alpha) + (\frac{\pi}{4} - \alpha)}{2} = \frac{2\pi/4}{2} = \frac{\pi}{4}$

$\frac{A-B}{2} = \frac{(\frac{\pi}{4} + \alpha) - (\frac{\pi}{4} - \alpha)}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha$

Подставим эти значения в формулы и в нашу дробь:

$\frac{2\cos(\frac{\pi}{4})\sin(\alpha)}{2\sin(\frac{\pi}{4})\cos(\alpha)} = \frac{\cos(\frac{\pi}{4})}{\sin(\frac{\pi}{4})} \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$

Зная, что $\frac{\cos(\frac{\pi}{4})}{\sin(\frac{\pi}{4})} = \cot(\frac{\pi}{4}) = 1$ и $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha$, получаем:

$1 \cdot \tan\alpha = \tan\alpha$

Ответ: $\tan\alpha$

2) Упростим выражение $\frac{\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha) + \cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)}{\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha) - \cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)}$

Аналогично первому пункту, воспользуемся формулой приведения $\cos(x) = \sin(\frac{\pi}{2} - x)$.

Преобразуем выражение $\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)$:

$\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} - \alpha)) = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \alpha) = \sin(\frac{\pi}{4} + \alpha)$.

Подставим полученное выражение в исходную дробь:

$\frac{\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha) + \sin(\frac{\pi}{4} + \alpha)}{\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha) - \sin(\frac{\pi}{4} + \alpha)}$

Применим те же формулы преобразования суммы и разности синусов в произведение.

В этом случае аргументы $A = \frac{\pi}{4} - \alpha$ и $B = \frac{\pi}{4} + \alpha$.

Найдём их полусумму и полуразность:

$\frac{A+B}{2} = \frac{(\frac{\pi}{4} - \alpha) + (\frac{\pi}{4} + \alpha)}{2} = \frac{2\pi/4}{2} = \frac{\pi}{4}$

$\frac{A-B}{2} = \frac{(\frac{\pi}{4} - \alpha) - (\frac{\pi}{4} + \alpha)}{2} = \frac{-2\alpha}{2} = -\alpha$

Подставим эти значения в нашу дробь:

$\frac{2\sin(\frac{A+B}{2})\cos(\frac{A-B}{2})}{2\cos(\frac{A+B}{2})\sin(\frac{A-B}{2})} = \frac{2\sin(\frac{\pi}{4})\cos(-\alpha)}{2\cos(\frac{\pi}{4})\sin(-\alpha)}$

Используя свойства чётности косинуса, $\cos(-x) = \cos(x)$, и нечётности синуса, $\sin(-x) = -\sin(x)$, получаем:

$\frac{\sin(\frac{\pi}{4})\cos(\alpha)}{\cos(\frac{\pi}{4})(-\sin(\alpha))} = -\frac{\sin(\frac{\pi}{4})}{\cos(\frac{\pi}{4})} \cdot \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$

Зная, что $\frac{\sin(\frac{\pi}{4})}{\cos(\frac{\pi}{4})} = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ и $\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \cot\alpha$, получаем:

$-(1 \cdot \cot\alpha) = -\cot\alpha$

Ответ: $-\cot\alpha$