Номер 1121, страница 318 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1121. 1) $\cos\frac{23\pi}{4} - \sin\frac{15\pi}{4};$

2) $\sin\frac{25\pi}{3} - \operatorname{tg}\frac{10\pi}{3};$

3) $3\cos(3660^\circ) + \sin(-1560^\circ);$

4) $\cos(-945^\circ) + \operatorname{tg}(1035^\circ).$

1) Для решения данного выражения воспользуемся периодичностью тригонометрических функций. Период синуса и косинуса равен $2\pi$.
Сначала упростим аргумент функции $\cos\frac{23\pi}{4}$. Представим $\frac{23\pi}{4}$ в виде $ \frac{24\pi - \pi}{4} = 6\pi - \frac{\pi}{4} $.
Так как $6\pi$ - это три полных периода ($3 \cdot 2\pi$), мы можем его отбросить, используя свойство периодичности $\cos(\alpha + 2\pi k) = \cos(\alpha)$:
$ \cos\frac{23\pi}{4} = \cos(6\pi - \frac{\pi}{4}) = \cos(-\frac{\pi}{4}) $.
Косинус является четной функцией, то есть $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, поэтому:
$ \cos(-\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Теперь упростим аргумент функции $\sin\frac{15\pi}{4}$. Представим $\frac{15\pi}{4}$ в виде $ \frac{16\pi - \pi}{4} = 4\pi - \frac{\pi}{4} $.
$ \sin\frac{15\pi}{4} = \sin(4\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin(-\frac{\pi}{4}) $.
Так как синус - нечетная функция, $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$, то:
$ \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Подставим полученные значения в исходное выражение:
$ \cos\frac{23\pi}{4} - \sin\frac{15\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} $.
Ответ: $\sqrt{2}$

2) Упростим каждый член выражения по отдельности.
Найдем значение $\sin^2\frac{25\pi}{3}$. Период синуса равен $2\pi$.
Представим аргумент $\frac{25\pi}{3}$ как $ \frac{24\pi + \pi}{3} = 8\pi + \frac{\pi}{3} $.
$ \sin(\frac{25\pi}{3}) = \sin(8\pi + \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Тогда $ \sin^2(\frac{25\pi}{3}) = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4} $.

Теперь найдем значение $\tg\frac{10\pi}{3}$. Период тангенса равен $\pi$.
Представим аргумент $\frac{10\pi}{3}$ как $ \frac{9\pi + \pi}{3} = 3\pi + \frac{\pi}{3} $.
$ \tg(\frac{10\pi}{3}) = \tg(3\pi + \frac{\pi}{3}) = \tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} $.

Подставим найденные значения в исходное выражение:
$ \sin^2\frac{25\pi}{3} - \tg\frac{10\pi}{3} = \frac{3}{4} - \sqrt{3} $.
Ответ: $\frac{3}{4} - \sqrt{3}$

3) Для решения используем периодичность тригонометрических функций ($360^\circ$) и свойства четности/нечетности.
Рассмотрим $3\cos3660^\circ$.
Угол $3660^\circ$ можно представить как $3660^\circ = 10 \cdot 360^\circ + 60^\circ$.
$ \cos(3660^\circ) = \cos(10 \cdot 360^\circ + 60^\circ) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} $.
Следовательно, $ 3\cos(3660^\circ) = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2} $.

Рассмотрим $\sin(-1560^\circ)$.
Синус - нечетная функция, поэтому $\sin(-1560^\circ) = -\sin(1560^\circ)$.
Угол $1560^\circ$ можно представить как $1560^\circ = 4 \cdot 360^\circ + 120^\circ = 1440^\circ + 120^\circ$.
$ \sin(1560^\circ) = \sin(4 \cdot 360^\circ + 120^\circ) = \sin(120^\circ) $.
Используя формулу приведения, $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Значит, $\sin(-1560^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь сложим полученные значения:
$ 3\cos3660^\circ + \sin(-1560^\circ) = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 - \sqrt{3}}{2} $.
Ответ: $\frac{3 - \sqrt{3}}{2}$

4) Решим выражение, упростив каждый его компонент.
Найдем значение $\cos(-945^\circ)$.
Косинус - четная функция, поэтому $\cos(-945^\circ) = \cos(945^\circ)$.
Период косинуса равен $360^\circ$. Представим $945^\circ$ как $945^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 225^\circ = 720^\circ + 225^\circ$.
$ \cos(945^\circ) = \cos(2 \cdot 360^\circ + 225^\circ) = \cos(225^\circ) $.
Применим формулу приведения: $\cos(225^\circ) = \cos(180^\circ + 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Найдем значение $\tg(1035^\circ)$.
Период тангенса равен $180^\circ$. Представим $1035^\circ$ как $1035^\circ = 5 \cdot 180^\circ + 135^\circ = 900^\circ + 135^\circ$.
$ \tg(1035^\circ) = \tg(5 \cdot 180^\circ + 135^\circ) = \tg(135^\circ) $.
Применим формулу приведения: $\tg(135^\circ) = \tg(180^\circ - 45^\circ) = -\tg(45^\circ) = -1$.

Сложим полученные результаты:
$ \cos(-945^\circ) + \tg(1035^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + (-1) = -1 - \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Ответ: $-1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$