Номер 1116, страница 317 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1116. Решить уравнение:

1) $cos4x \cos2x = \cos5x \cos x;$

2) $sin5x \sin x = \sin7x \sin3x;$

3) $\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=1;$

4) $2\sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)+\sin^2x=0.$

1) $ \cos4x \cos2x = \cos5x \cos x $

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму: $ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)) $.

Применим эту формулу к обеим частям уравнения:

Левая часть: $ \cos4x \cos2x = \frac{1}{2}(\cos(4x-2x) + \cos(4x+2x)) = \frac{1}{2}(\cos2x + \cos6x) $.

Правая часть: $ \cos5x \cos x = \frac{1}{2}(\cos(5x-x) + \cos(5x+x)) = \frac{1}{2}(\cos4x + \cos6x) $.

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$ \frac{1}{2}(\cos2x + \cos6x) = \frac{1}{2}(\cos4x + \cos6x) $

Умножим обе части на 2 и вычтем $ \cos6x $:

$ \cos2x = \cos4x $

Перенесем все в одну сторону и используем формулу разности косинусов $ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ \cos4x - \cos2x = 0 $

$ -2\sin\frac{4x+2x}{2}\sin\frac{4x-2x}{2} = 0 $

$ -2\sin3x\sin x = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $ \sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

2. $ \sin 3x = 0 \Rightarrow 3x = \pi k \Rightarrow x = \frac{\pi k}{3} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Множество решений $ x = \pi n $ является подмножеством множества $ x = \frac{\pi k}{3} $ (при $ k=3n $). Следовательно, общее решение — это $ x = \frac{\pi k}{3} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \sin5x \sin x = \sin7x \sin3x $

Воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в сумму: $ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) $.

Левая часть: $ \sin5x \sin x = \frac{1}{2}(\cos(5x-x) - \cos(5x+x)) = \frac{1}{2}(\cos4x - \cos6x) $.

Правая часть: $ \sin7x \sin3x = \frac{1}{2}(\cos(7x-3x) - \cos(7x+3x)) = \frac{1}{2}(\cos4x - \cos10x) $.

Приравниваем обе части:

$ \frac{1}{2}(\cos4x - \cos6x) = \frac{1}{2}(\cos4x - \cos10x) $

$ \cos4x - \cos6x = \cos4x - \cos10x $

$ -\cos6x = -\cos10x $

$ \cos6x = \cos10x $

Перенесем все в одну сторону и применим формулу разности косинусов:

$ \cos10x - \cos6x = 0 $

$ -2\sin\frac{10x+6x}{2}\sin\frac{10x-6x}{2} = 0 $

$ -2\sin8x\sin2x = 0 $

Отсюда следует, что либо $ \sin8x=0 $, либо $ \sin2x=0 $.

1. $ \sin 2x = 0 \Rightarrow 2x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{2} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

2. $ \sin 8x = 0 \Rightarrow 8x = \pi k \Rightarrow x = \frac{\pi k}{8} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Решения $ x = \frac{\pi n}{2} $ являются частью решений $ x = \frac{\pi k}{8} $ (когда $ k=4n $), поэтому общим решением является $ x = \frac{\pi k}{8} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{8}, n \in \mathbb{Z} $.

3) $ \sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right) = 1 $

Для упрощения уравнения воспользуемся формулой приведения $ \sin \alpha = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) $.

Преобразуем первый множитель:

$ \sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \left(x+\frac{\pi}{3}\right)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{3\pi-2\pi}{6} - x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6} - x\right) $.

Так как функция косинуса четная, $ \cos\left(\frac{\pi}{6} - x\right) = \cos\left(-\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\right) = \cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right) $.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$ \cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right) \cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right) = 1 $

$ \cos^2\left(x-\frac{\pi}{6}\right) = 1 $

Это уравнение равносильно тому, что $ \cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right) = 1 $ или $ \cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right) = -1 $.

Это можно объединить в одно условие:

$ x-\frac{\pi}{6} = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Отсюда находим $ x $:

$ x = \frac{\pi}{6} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

4) $ 2\sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right) + \sin^2 x = 0 $

Сначала преобразуем произведение синусов, используя формулу $ 2\sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta) $.

Пусть $ \alpha = \frac{\pi}{4}+x $ и $ \beta = \frac{\pi}{4}-x $. Тогда:

$ \alpha - \beta = \left(\frac{\pi}{4}+x\right) - \left(\frac{\pi}{4}-x\right) = 2x $

$ \alpha + \beta = \left(\frac{\pi}{4}+x\right) + \left(\frac{\pi}{4}-x\right) = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} $

Следовательно, $ 2\sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right) = \cos(2x) - \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) $.

Поскольку $ \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $, то выражение равно $ \cos(2x) $.

Подставим это в исходное уравнение:

$ \cos(2x) + \sin^2 x = 0 $

Используем формулу двойного угла для косинуса: $ \cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x $.

$ (1 - 2\sin^2 x) + \sin^2 x = 0 $

$ 1 - \sin^2 x = 0 $

$ \sin^2 x = 1 $

Это означает, что $ \sin x = 1 $ или $ \sin x = -1 $. Решения этих уравнений можно объединить в одну серию:

$ x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.