Номер 1113, страница 317 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1113. Доказать:

1) $ \sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 60^\circ \sin 80^\circ = \frac{3}{16}; $

2) $ \text{tg } 20^\circ \text{ tg } 40^\circ \text{ tg } 60^\circ \text{ tg } 80^\circ = 3. $

1)

Требуется доказать, что $\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 60^\circ \sin 80^\circ = \frac{3}{16}$.

Преобразуем левую часть равенства. Для начала подставим известное значение $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 60^\circ \sin 80^\circ = (\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ) \cdot \sin 60^\circ = (\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь рассмотрим произведение $\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ$. Воспользуемся известным тригонометрическим тождеством:

$\sin x \cdot \sin(60^\circ - x) \cdot \sin(60^\circ + x) = \frac{1}{4} \sin(3x)$.

В нашем случае можно положить $x = 20^\circ$. Тогда множители будут $\sin 20^\circ$, $\sin(60^\circ - 20^\circ) = \sin 40^\circ$ и $\sin(60^\circ + 20^\circ) = \sin 80^\circ$. Применим тождество:

$\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ = \frac{1}{4} \sin(3 \cdot 20^\circ) = \frac{1}{4} \sin 60^\circ$.

Подставим значение $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$\frac{1}{4} \sin 60^\circ = \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{8}$.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$(\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{8} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{16}$.

Таким образом, левая часть равна правой. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

2)

Требуется доказать, что $\tan 20^\circ \tan 40^\circ \tan 60^\circ \tan 80^\circ = 3$.

Преобразуем левую часть равенства. Подставим известное значение $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$:

$\tan 20^\circ \tan 40^\circ \tan 60^\circ \tan 80^\circ = (\tan 20^\circ \tan 40^\circ \tan 80^\circ) \cdot \tan 60^\circ = (\tan 20^\circ \tan 40^\circ \tan 80^\circ) \cdot \sqrt{3}$.

Рассмотрим произведение $\tan 20^\circ \tan 40^\circ \tan 80^\circ$. Воспользуемся следующим тригонометрическим тождеством:

$\tan x \cdot \tan(60^\circ - x) \cdot \tan(60^\circ + x) = \tan(3x)$.

В нашем случае, как и в предыдущем пункте, $x = 20^\circ$. Тогда множители: $\tan 20^\circ$, $\tan(60^\circ - 20^\circ) = \tan 40^\circ$ и $\tan(60^\circ + 20^\circ) = \tan 80^\circ$. Применяем тождество:

$\tan 20^\circ \tan 40^\circ \tan 80^\circ = \tan(3 \cdot 20^\circ) = \tan 60^\circ$.

Мы знаем, что $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$.

Теперь подставим полученный результат в наше выражение:

$(\tan 20^\circ \tan 40^\circ \tan 80^\circ) \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$.

Левая часть равна правой. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.