Номер 1107, страница 315 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1107. Доказать, что при $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ справедливо тождество:

1) $\sin^2\alpha \sin2\alpha + \sin^2\beta \sin2\beta + \sin^2\gamma \sin2\gamma - \sin2\alpha \sin2\beta \sin2\gamma = 2\sin\alpha \sin\beta \sin\gamma$;

2) $\cos^2\alpha \cos2\alpha + \cos^2\beta \cos2\beta + \cos^2\gamma \cos2\gamma - \cos2\alpha \cos2\beta \cos2\gamma = -2\cos\alpha \cos\beta \cos\gamma$.

1) Докажем тождество $\sin^2\alpha \sin2\alpha + \sin^2\beta \sin2\beta + \sin^2\gamma \sin2\gamma - \sin2\alpha \sin2\beta \sin2\gamma = 2\sin\alpha \sin\beta \sin\gamma$ при условии $\alpha + \beta + \gamma = \pi$.

Обозначим левую часть тождества как $L$. Преобразуем ее, используя формулу понижения степени $\sin^2x = \frac{1-\cos2x}{2}$:

$L = \frac{1-\cos2\alpha}{2}\sin2\alpha + \frac{1-\cos2\beta}{2}\sin2\beta + \frac{1-\cos2\gamma}{2}\sin2\gamma - \sin2\alpha \sin2\beta \sin2\gamma$

$L = \frac{1}{2}(\sin2\alpha - \cos2\alpha\sin2\alpha + \sin2\beta - \cos2\beta\sin2\beta + \sin2\gamma - \cos2\gamma\sin2\gamma) - \sin2\alpha \sin2\beta \sin2\gamma$

Сгруппируем слагаемые и применим формулу синуса двойного угла $2\sin x \cos x = \sin 2x$:

$L = \frac{1}{2}(\sin2\alpha + \sin2\beta + \sin2\gamma) - \frac{1}{2}(\sin2\alpha\cos2\alpha + \sin2\beta\cos2\beta + \sin2\gamma\cos2\gamma) - \sin2\alpha \sin2\beta \sin2\gamma$

$L = \frac{1}{2}(\sin2\alpha + \sin2\beta + \sin2\gamma) - \frac{1}{4}(\sin4\alpha + \sin4\beta + \sin4\gamma) - \sin2\alpha \sin2\beta \sin2\gamma$

Теперь воспользуемся двумя вспомогательными тождествами, справедливыми при $\alpha + \beta + \gamma = \pi$.

Вспомогательное тождество 1: $\sin2\alpha + \sin2\beta + \sin2\gamma = 4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$.
Доказательство:
$\sin2\alpha + \sin2\beta + \sin2\gamma = 2\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta) + 2\sin\gamma\cos\gamma$
Так как $\alpha+\beta = \pi - \gamma$, то $\sin(\alpha+\beta) = \sin(\pi - \gamma) = \sin\gamma$.
$= 2\sin\gamma\cos(\alpha-\beta) + 2\sin\gamma\cos\gamma = 2\sin\gamma(\cos(\alpha-\beta) + \cos\gamma)$
Так как $\gamma = \pi - (\alpha+\beta)$, то $\cos\gamma = \cos(\pi - (\alpha+\beta)) = -\cos(\alpha+\beta)$.
$= 2\sin\gamma(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta))$
Используя формулу разности косинусов $\cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$:
$= 2\sin\gamma(-2\sin\alpha\sin(-\beta)) = 4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$. Тождество доказано.

Вспомогательное тождество 2: $\sin4\alpha + \sin4\beta + \sin4\gamma = -4\sin2\alpha\sin2\beta\sin2\gamma$.
Доказательство:
Пусть $A=2\alpha, B=2\beta, C=2\gamma$. Тогда $A+B+C = 2(\alpha+\beta+\gamma) = 2\pi$. Нам нужно доказать $\sin(2A) + \sin(2B) + \sin(2C) = -4\sin A\sin B\sin C$.
$\sin(2A) + \sin(2B) + \sin(2C) = 2\sin(A+B)\cos(A-B) + 2\sin C\cos C$
Так как $A+B = 2\pi - C$, то $\sin(A+B) = \sin(2\pi - C) = -\sin C$.
$= -2\sin C\cos(A-B) + 2\sin C\cos C = -2\sin C(\cos(A-B) - \cos C)$
Так как $C = 2\pi - (A+B)$, то $\cos C = \cos(2\pi - (A+B)) = \cos(A+B)$.
$= -2\sin C(\cos(A-B) - \cos(A+B))$
$= -2\sin C(-2\sin A\sin(-B)) = -4\sin A\sin B\sin C$.
Подставляя обратно $A=2\alpha, B=2\beta, C=2\gamma$, получаем искомое тождество.

Теперь подставим выражения из вспомогательных тождеств в преобразованную левую часть $L$:
$L = \frac{1}{2}(4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma) - \frac{1}{4}(-4\sin2\alpha\sin2\beta\sin2\gamma) - \sin2\alpha \sin2\beta \sin2\gamma$
$L = 2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma + \sin2\alpha\sin2\beta\sin2\gamma - \sin2\alpha \sin2\beta \sin2\gamma$
$L = 2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$
Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $\cos^2\alpha \cos2\alpha + \cos^2\beta \cos2\beta + \cos^2\gamma \cos2\gamma - \cos2\alpha \cos2\beta \cos2\gamma = -2\cos\alpha \cos\beta \cos\gamma$ при условии $\alpha + \beta + \gamma = \pi$.

Обозначим левую часть тождества как $L$. Преобразуем ее, используя формулу понижения степени $\cos^2x = \frac{1+\cos2x}{2}$:

$L = \frac{1+\cos2\alpha}{2}\cos2\alpha + \frac{1+\cos2\beta}{2}\cos2\beta + \frac{1+\cos2\gamma}{2}\cos2\gamma - \cos2\alpha \cos2\beta \cos2\gamma$

$L = \frac{1}{2}(\cos2\alpha + \cos^2(2\alpha) + \cos2\beta + \cos^2(2\beta) + \cos2\gamma + \cos^2(2\gamma)) - \cos2\alpha \cos2\beta \cos2\gamma$

Сгруппируем слагаемые и снова применим формулу понижения степени $\cos^2(2x) = \frac{1+\cos4x}{2}$:

$L = \frac{1}{2}(\cos2\alpha + \cos2\beta + \cos2\gamma) + \frac{1}{2}(\cos^2(2\alpha) + \cos^2(2\beta) + \cos^2(2\gamma)) - \cos2\alpha \cos2\beta \cos2\gamma$

$L = \frac{1}{2}(\cos2\alpha + \cos2\beta + \cos2\gamma) + \frac{1}{2}\left(\frac{1+\cos4\alpha}{2} + \frac{1+\cos4\beta}{2} + \frac{1+\cos4\gamma}{2}\right) - \cos2\alpha \cos2\beta \cos2\gamma$

$L = \frac{1}{2}(\cos2\alpha + \cos2\beta + \cos2\gamma) + \frac{3}{4} + \frac{1}{4}(\cos4\alpha + \cos4\beta + \cos4\gamma) - \cos2\alpha \cos2\beta \cos2\gamma$

Теперь воспользуемся двумя другими вспомогательными тождествами, справедливыми при $\alpha + \beta + \gamma = \pi$.

Вспомогательное тождество 3: $\cos2\alpha + \cos2\beta + \cos2\gamma = -1 - 4\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma$.
Доказательство:
$\cos2\alpha + \cos2\beta + \cos2\gamma = 2\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta) + 2\cos^2\gamma - 1$
Так как $\alpha+\beta = \pi - \gamma$, то $\cos(\alpha+\beta) = -\cos\gamma$.
$= -2\cos\gamma\cos(\alpha-\beta) + 2\cos^2\gamma - 1 = -2\cos\gamma(\cos(\alpha-\beta) - \cos\gamma) - 1$
Так как $\gamma = \pi - (\alpha+\beta)$, то $\cos\gamma = -\cos(\alpha+\beta)$.
$= -2\cos\gamma(\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)) - 1$
Используя формулу суммы косинусов $\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$:
$= -2\cos\gamma(2\cos\alpha\cos(-\beta)) - 1 = -1 - 4\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma$. Тождество доказано.

Вспомогательное тождество 4: $\cos4\alpha + \cos4\beta + \cos4\gamma = 4\cos2\alpha\cos2\beta\cos2\gamma - 1$.
Доказательство:
Пусть $A=2\alpha, B=2\beta, C=2\gamma$. Тогда $A+B+C = 2\pi$. Нам нужно доказать $\cos(2A) + \cos(2B) + \cos(2C) = 4\cos A\cos B\cos C - 1$.
$\cos(2A) + \cos(2B) + \cos(2C) = 2\cos(A+B)\cos(A-B) + 2\cos^2C - 1$
Так как $A+B = 2\pi - C$, то $\cos(A+B) = \cos(2\pi - C) = \cos C$.
$= 2\cos C\cos(A-B) + 2\cos^2C - 1 = 2\cos C(\cos(A-B) + \cos C) - 1$
Так как $C = 2\pi - (A+B)$, то $\cos C = \cos(A+B)$.
$= 2\cos C(\cos(A-B) + \cos(A+B)) - 1 = 2\cos C(2\cos A\cos B) - 1 = 4\cos A\cos B\cos C - 1$.
Подставляя обратно $A=2\alpha, B=2\beta, C=2\gamma$, получаем искомое тождество.

Теперь подставим выражения из вспомогательных тождеств в преобразованную левую часть $L$:
$L = \frac{1}{2}(-1 - 4\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma) + \frac{3}{4} + \frac{1}{4}(4\cos2\alpha\cos2\beta\cos2\gamma - 1) - \cos2\alpha \cos2\beta \cos2\gamma$
$L = -\frac{1}{2} - 2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma + \frac{3}{4} + \cos2\alpha\cos2\beta\cos2\gamma - \frac{1}{4} - \cos2\alpha \cos2\beta \cos2\gamma$
$L = \left(-\frac{1}{2} + \frac{3}{4} - \frac{1}{4}\right) - 2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma + (\cos2\alpha\cos2\beta\cos2\gamma - \cos2\alpha \cos2\beta \cos2\gamma)$
$L = \left(-\frac{2}{4} + \frac{2}{4}\right) - 2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma + 0 = -2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma$
Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.