Номер 1101, страница 314 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1101. Доказать тождество $tg \alpha + tg \beta = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}$ и вычислить:

1) $tg 267^\circ + tg 93^\circ$;

2) $tg \frac{5\pi}{12} + tg \frac{7\pi}{12}$.

Докажем тождество $\tg\alpha + \tg\beta = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Используем определение тангенса: $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$.

$\tg\alpha + \tg\beta = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\sin\beta}{\cos\beta}$

Приведем дроби к общему знаменателю $\cos\alpha\cos\beta$:

$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}$

В числителе получилась формула синуса суммы углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.

Подставим ее в наше выражение:

$\frac{\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta} = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$

Таким образом, мы получили, что левая часть равна правой. Тождество доказано.

Теперь вычислим значения выражений, используя доказанное тождество.

1) $\tg 267^\circ + \tg 93^\circ$

Воспользуемся формулой $\tg\alpha + \tg\beta = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$, где $\alpha = 267^\circ$ и $\beta = 93^\circ$.

$\tg 267^\circ + \tg 93^\circ = \frac{\sin(267^\circ + 93^\circ)}{\cos 267^\circ \cos 93^\circ}$

Найдем сумму углов в числителе: $267^\circ + 93^\circ = 360^\circ$.

$\frac{\sin(360^\circ)}{\cos 267^\circ \cos 93^\circ}$

Значение синуса $360^\circ$ равно 0 ($\sin 360^\circ = 0$). Знаменатель не равен нулю, так как $\cos 267^\circ \neq 0$ и $\cos 93^\circ \neq 0$.

Следовательно, все выражение равно 0.

$\frac{0}{\cos 267^\circ \cos 93^\circ} = 0$

Ответ: 0.

2) $\tg\frac{5\pi}{12} + \tg\frac{7\pi}{12}$

Применим ту же формулу, где $\alpha = \frac{5\pi}{12}$ и $\beta = \frac{7\pi}{12}$.

$\tg\frac{5\pi}{12} + \tg\frac{7\pi}{12} = \frac{\sin(\frac{5\pi}{12} + \frac{7\pi}{12})}{\cos(\frac{5\pi}{12}) \cos(\frac{7\pi}{12})}$

Найдем сумму углов в числителе: $\frac{5\pi}{12} + \frac{7\pi}{12} = \frac{12\pi}{12} = \pi$.

$\frac{\sin(\pi)}{\cos(\frac{5\pi}{12}) \cos(\frac{7\pi}{12})}$

Значение синуса $\pi$ равно 0 ($\sin \pi = 0$). Знаменатель не равен нулю, так как углы $\frac{5\pi}{12}$ и $\frac{7\pi}{12}$ не равны $\frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ - целое число.

Следовательно, все выражение равно 0.

$\frac{0}{\cos(\frac{5\pi}{12}) \cos(\frac{7\pi}{12})} = 0$

Ответ: 0.