Номер 1103, страница 315 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1103. Преобразовать в произведение:

1) $\sin \alpha + \operatorname{tg} \alpha;$

2) $\cos 2\alpha + \operatorname{ctg} 2\alpha;$

3) $\sin \pi\alpha - \operatorname{tg} \pi\alpha;$

4) $\operatorname{ctg}(2\alpha + 30^\circ) - \cos(2\alpha + 30^\circ).$

1) $sin α + tg α$

Представим тангенс как отношение синуса к косинусу:

$sin α + \frac{sin α}{cos α}$

Вынесем $sin α$ за скобки:

$sin α (1 + \frac{1}{cos α})$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$sin α (\frac{cos α + 1}{cos α})$

Перегруппируем множители:

$\frac{sin α}{cos α} (1 + cos α) = tg α (1 + cos α)$

Используем формулу косинуса двойного угла в виде $1 + cos α = 2 cos^2(\frac{α}{2})$:

$tg α \cdot 2 cos^2(\frac{α}{2})$

Ответ: $2 tg α cos^2(\frac{α}{2})$

2) $cos 2α + ctg 2α$

Представим котангенс как отношение косинуса к синусу:

$cos 2α + \frac{cos 2α}{sin 2α}$

Вынесем $cos 2α$ за скобки:

$cos 2α (1 + \frac{1}{sin 2α})$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$cos 2α (\frac{sin 2α + 1}{sin 2α})$

Перегруппируем множители:

$\frac{cos 2α}{sin 2α} (1 + sin 2α) = ctg 2α (1 + sin 2α)$

Чтобы преобразовать выражение $1 + sin 2α$, используем формулу приведения $sin x = cos(\frac{\pi}{2} - x)$:

$1 + sin 2α = 1 + cos(\frac{\pi}{2} - 2α)$

Далее применим формулу $1 + cos y = 2 cos^2(\frac{y}{2})$:

$1 + cos(\frac{\pi}{2} - 2α) = 2 cos^2(\frac{\frac{\pi}{2} - 2α}{2}) = 2 cos^2(\frac{\pi}{4} - α)$

Подставим полученное выражение обратно:

$ctg 2α \cdot 2 cos^2(\frac{\pi}{4} - α)$

Ответ: $2 ctg 2α cos^2(\frac{\pi}{4} - α)$

3) $sin πα - tg πα$

Представим тангенс как отношение синуса к косинусу:

$sin πα - \frac{sin πα}{cos πα}$

Вынесем $sin πα$ за скобки:

$sin πα (1 - \frac{1}{cos πα})$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$sin πα (\frac{cos πα - 1}{cos πα})$

Перегруппируем множители:

$\frac{sin πα}{cos πα} (cos πα - 1) = tg πα (cos πα - 1)$

Используем формулу косинуса двойного угла в виде $cos α - 1 = -2 sin^2(\frac{α}{2})$:

$tg πα \cdot (-2 sin^2(\frac{πα}{2}))$

Ответ: $-2 tg πα sin^2(\frac{πα}{2})$

4) $ctg(2α + 30°) - cos(2α + 30°)$

Для удобства введем замену $β = 2α + 30°$. Выражение примет вид $ctg β - cos β$.

Представим котангенс как отношение косинуса к синусу:

$\frac{cos β}{sin β} - cos β$

Вынесем $cos β$ за скобки:

$cos β (\frac{1}{sin β} - 1)$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$cos β (\frac{1 - sin β}{sin β})$

Перегруппируем множители:

$\frac{cos β}{sin β} (1 - sin β) = ctg β (1 - sin β)$

Чтобы преобразовать выражение $1 - sin β$, используем формулу приведения $sin x = cos(90° - x)$:

$1 - sin β = 1 - cos(90° - β)$

Далее применим формулу $1 - cos y = 2 sin^2(\frac{y}{2})$:

$1 - cos(90° - β) = 2 sin^2(\frac{90° - β}{2}) = 2 sin^2(45° - \frac{β}{2})$

Подставим $β = 2α + 30°$ в аргумент синуса:

$45° - \frac{β}{2} = 45° - \frac{2α + 30°}{2} = 45° - (α + 15°) = 45° - α - 15° = 30° - α$

Таким образом, $1 - sin β = 2 sin^2(30° - α)$.

Подставим все обратно в выражение, заменив $β$ на $2α + 30°$:

$ctg(2α + 30°) \cdot 2 sin^2(30° - α)$

Ответ: $2 ctg(2α + 30°) sin^2(30° - α)$