Номер 1096, страница 314 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1096. Преобразовать в произведение:

1) $1 + 2\sin\alpha;$

2) $1 - 2\sin\alpha;$

3) $1 + 2\cos\alpha;$

4) $1 + \sin\alpha.$

1) Чтобы преобразовать выражение $1 + 2\sin\alpha$ в произведение, вынесем за скобки множитель 2:

$1 + 2\sin\alpha = 2\left(\frac{1}{2} + \sin\alpha\right)$

Представим $\frac{1}{2}$ в виде синуса угла: $\frac{1}{2} = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$.

$2\left(\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) + \sin\alpha\right)$

Теперь применим формулу суммы синусов $\sin x + \sin y = 2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$, где $x = \frac{\pi}{6}$ и $y = \alpha$:

$2 \cdot \left( 2\sin\left(\frac{\frac{\pi}{6}+\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\frac{\pi}{6}-\alpha}{2}\right) \right)$

Упростив выражение, получаем итоговый результат:

$4\sin\left(\frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{12} - \frac{\alpha}{2}\right)$

Ответ: $4\sin\left(\frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{12} - \frac{\alpha}{2}\right)$

2) Для преобразования выражения $1 - 2\sin\alpha$ в произведение, поступим аналогично предыдущему пункту. Вынесем 2 за скобки:

$1 - 2\sin\alpha = 2\left(\frac{1}{2} - \sin\alpha\right)$

Заменим $\frac{1}{2}$ на $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$:

$2\left(\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) - \sin\alpha\right)$

Применим формулу разности синусов $\sin x - \sin y = 2\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)$, где $x = \frac{\pi}{6}$ и $y = \alpha$:

$2 \cdot \left( 2\sin\left(\frac{\frac{\pi}{6}-\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\frac{\pi}{6}+\alpha}{2}\right) \right)$

После упрощения получаем:

$4\sin\left(\frac{\pi}{12} - \frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}\right)$

Ответ: $4\sin\left(\frac{\pi}{12} - \frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}\right)$

3) Для преобразования выражения $1 + 2\cos\alpha$ в произведение, снова вынесем 2 за скобки:

$1 + 2\cos\alpha = 2\left(\frac{1}{2} + \cos\alpha\right)$

Представим $\frac{1}{2}$ в виде косинуса угла: $\frac{1}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$.

$2\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos\alpha\right)$

Применим формулу суммы косинусов $\cos x + \cos y = 2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$, где $x = \frac{\pi}{3}$ и $y = \alpha$:

$2 \cdot \left( 2\cos\left(\frac{\frac{\pi}{3}+\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\frac{\pi}{3}-\alpha}{2}\right) \right)$

Упростив, получим:

$4\cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2}\right)$

Ответ: $4\cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2}\right)$

4) Для преобразования выражения $1 + \sin\alpha$ в произведение, представим 1 как синус угла: $1 = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$.

$1 + \sin\alpha = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \sin\alpha$

Применим формулу суммы синусов $\sin x + \sin y = 2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$, где $x = \frac{\pi}{2}$ и $y = \alpha$:

$2\sin\left(\frac{\frac{\pi}{2}+\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\frac{\pi}{2}-\alpha}{2}\right)$

Упрощая аргументы тригонометрических функций, получаем:

$2\sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)$

Это является верным ответом. Также можно заметить, что по формуле приведения $\cos\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}\right)$. Тогда выражение можно записать в более компактной форме:

$2\sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}\right) = 2\sin^2\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}\right)$

Ответ: $2\sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)$ или $2\sin^2\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}\right)$