Номер 1095, страница 314 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1095. Вычислить:

1) $ \cos 105^\circ + \cos 75^\circ $

2) $ \sin 105^\circ - \sin 75^\circ $

3) $ \cos \frac{11\pi}{12} + \cos \frac{5\pi}{12} $

4) $ \cos \frac{11\pi}{12} - \cos \frac{5\pi}{12} $

5) $ \sin \frac{7\pi}{12} - \sin \frac{\pi}{12} $

6) $ \sin 105^\circ + \sin 165^\circ $

1) $cos 105^\circ + cos 75^\circ$

Для решения используем формулу суммы косинусов: $cos \alpha + cos \beta = 2 cos \frac{\alpha + \beta}{2} cos \frac{\alpha - \beta}{2}$.

В данном случае $\alpha = 105^\circ$ и $\beta = 75^\circ$.

Находим полусумму и полуразность углов:

$\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{105^\circ + 75^\circ}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$

$\frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{105^\circ - 75^\circ}{2} = \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ$

Подставляем значения в формулу:

$cos 105^\circ + cos 75^\circ = 2 cos(90^\circ) cos(15^\circ)$

Так как $cos(90^\circ) = 0$, то все выражение равно нулю:

$2 \cdot 0 \cdot cos(15^\circ) = 0$

Ответ: $0$

2) $sin 105^\circ - sin 75^\circ$

Для решения используем формулу разности синусов: $sin \alpha - sin \beta = 2 cos \frac{\alpha + \beta}{2} sin \frac{\alpha - \beta}{2}$.

В данном случае $\alpha = 105^\circ$ и $\beta = 75^\circ$.

Находим полусумму и полуразность углов:

$\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{105^\circ + 75^\circ}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$

$\frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{105^\circ - 75^\circ}{2} = \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ$

Подставляем значения в формулу:

$sin 105^\circ - sin 75^\circ = 2 cos(90^\circ) sin(15^\circ)$

Так как $cos(90^\circ) = 0$, то все выражение равно нулю:

$2 \cdot 0 \cdot sin(15^\circ) = 0$

Ответ: $0$

3) $cos \frac{11\pi}{12} + cos \frac{5\pi}{12}$

Используем формулу суммы косинусов: $cos \alpha + cos \beta = 2 cos \frac{\alpha + \beta}{2} cos \frac{\alpha - \beta}{2}$.

Здесь $\alpha = \frac{11\pi}{12}$ и $\beta = \frac{5\pi}{12}$.

Находим полусумму и полуразность углов:

$\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\frac{11\pi}{12} + \frac{5\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{16\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{4\pi}{3}}{2} = \frac{2\pi}{3}$

$\frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{\frac{11\pi}{12} - \frac{5\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{6\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{\pi}{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$

Подставляем значения в формулу:

$cos \frac{11\pi}{12} + cos \frac{5\pi}{12} = 2 cos(\frac{2\pi}{3}) cos(\frac{\pi}{4})$

Находим значения косинусов: $cos(\frac{2\pi}{3}) = - \frac{1}{2}$ и $cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Вычисляем результат:

$2 \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

4) $cos \frac{11\pi}{12} - cos \frac{5\pi}{12}$

Используем формулу разности косинусов: $cos \alpha - cos \beta = -2 sin \frac{\alpha + \beta}{2} sin \frac{\alpha - \beta}{2}$.

Здесь $\alpha = \frac{11\pi}{12}$ и $\beta = \frac{5\pi}{12}$.

Находим полусумму и полуразность углов:

$\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\frac{11\pi}{12} + \frac{5\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{16\pi}{12}}{2} = \frac{2\pi}{3}$

$\frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{\frac{11\pi}{12} - \frac{5\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{6\pi}{12}}{2} = \frac{\pi}{4}$

Подставляем значения в формулу:

$cos \frac{11\pi}{12} - cos \frac{5\pi}{12} = -2 sin(\frac{2\pi}{3}) sin(\frac{\pi}{4})$

Находим значения синусов: $sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Вычисляем результат:

$-2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{6}}{2}$

5) $sin \frac{7\pi}{12} - sin \frac{\pi}{12}$

Используем формулу разности синусов: $sin \alpha - sin \beta = 2 cos \frac{\alpha + \beta}{2} sin \frac{\alpha - \beta}{2}$.

Здесь $\alpha = \frac{7\pi}{12}$ и $\beta = \frac{\pi}{12}$.

Находим полусумму и полуразность углов:

$\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\frac{7\pi}{12} + \frac{\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{8\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{2\pi}{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$

$\frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{\frac{7\pi}{12} - \frac{\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{6\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{\pi}{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$

Подставляем значения в формулу:

$sin \frac{7\pi}{12} - sin \frac{\pi}{12} = 2 cos(\frac{\pi}{3}) sin(\frac{\pi}{4})$

Находим значения тригонометрических функций: $cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Вычисляем результат:

$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

6) $sin 105^\circ + sin 165^\circ$

Используем формулу суммы синусов: $sin \alpha + sin \beta = 2 sin \frac{\alpha + \beta}{2} cos \frac{\alpha - \beta}{2}$.

В данном случае $\alpha = 105^\circ$ и $\beta = 165^\circ$.

Находим полусумму и полуразность углов:

$\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{105^\circ + 165^\circ}{2} = \frac{270^\circ}{2} = 135^\circ$

$\frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{105^\circ - 165^\circ}{2} = \frac{-60^\circ}{2} = -30^\circ$

Подставляем значения в формулу:

$sin 105^\circ + sin 165^\circ = 2 sin(135^\circ) cos(-30^\circ)$

Находим значения тригонометрических функций, учитывая, что косинус - четная функция ($cos(-x) = cos(x)$):

$sin(135^\circ) = sin(180^\circ - 45^\circ) = sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$cos(-30^\circ) = cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Вычисляем результат:

$2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}$