Номер 1102, страница 314 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1102. Разложить на множители:

1) $1 - \cos \alpha + \sin \alpha$;

2) $1 - 2\cos \alpha + \cos 2\alpha$;

3) $1 + \sin \alpha - \cos \alpha - \operatorname{tg} \alpha$;

4) $1 + \sin \alpha + \cos \alpha + \operatorname{tg} \alpha$.

1) Для разложения выражения $1 - \cos\alpha + \sin\alpha$ на множители, сгруппируем $1 - \cos\alpha$ и воспользуемся формулами половинного угла. Используем тождества $1 - \cos\alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2}$ и $\sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$. Подставим их в исходное выражение:
$(1 - \cos\alpha) + \sin\alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2} + 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$.
Вынесем общий множитель $2\sin\frac{\alpha}{2}$ за скобки:
$2\sin\frac{\alpha}{2}(\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2})$.
Для дальнейшего упрощения можно преобразовать сумму в скобках, используя метод вспомогательного угла: $\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\frac{\alpha}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\frac{\alpha}{2}) = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\alpha}{2}) = \sqrt{2}\sin(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4})$.
В итоге получаем: $2\sin\frac{\alpha}{2} \cdot \sqrt{2}\sin(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4}) = 2\sqrt{2}\sin\frac{\alpha}{2}\sin(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4})$.
Ответ: $2\sqrt{2}\sin\frac{\alpha}{2}\sin(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4})$.

2) Для разложения выражения $1 - 2\cos\alpha + \cos2\alpha$, сгруппируем первый и третий члены: $(1 + \cos2\alpha) - 2\cos\alpha$. Применим формулу косинуса двойного угла $1 + \cos2\alpha = 2\cos^2\alpha$.
Выражение примет вид: $2\cos^2\alpha - 2\cos\alpha$.
Вынесем общий множитель $2\cos\alpha$ за скобки: $2\cos\alpha(\cos\alpha - 1)$.
Можно также преобразовать множитель $(\cos\alpha - 1)$, используя формулу $1 - \cos\alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2}$, что дает $\cos\alpha - 1 = -2\sin^2\frac{\alpha}{2}$.
Тогда итоговое выражение: $2\cos\alpha(-2\sin^2\frac{\alpha}{2}) = -4\cos\alpha\sin^2\frac{\alpha}{2}$.
Ответ: $-4\cos\alpha\sin^2\frac{\alpha}{2}$.

3) Чтобы разложить на множители $1 + \sin\alpha - \cos\alpha - \tan\alpha$, заменим $\tan\alpha$ на $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ (при условии $\cos\alpha \neq 0$):
$1 + \sin\alpha - \cos\alpha - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
Сгруппируем члены: $(1 - \cos\alpha) + (\sin\alpha - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha})$.
Вынесем $\sin\alpha$ за скобку во второй группе: $(1 - \cos\alpha) + \sin\alpha(1 - \frac{1}{\cos\alpha})$.
Приведем выражение во второй скобке к общему знаменателю: $(1 - \cos\alpha) + \sin\alpha(\frac{\cos\alpha - 1}{\cos\alpha})$.
Так как $\cos\alpha - 1 = -(1 - \cos\alpha)$, получаем: $(1 - \cos\alpha) - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}(1 - \cos\alpha)$.
Теперь вынесем общий множитель $(1 - \cos\alpha)$: $(1 - \cos\alpha)(1 - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha})$.
Заменив дробь обратно на тангенс, получим: $(1 - \cos\alpha)(1 - \tan\alpha)$.
Ответ: $(1 - \cos\alpha)(1 - \tan\alpha)$.

4) Чтобы разложить на множители $1 + \sin\alpha + \cos\alpha + \tan\alpha$, заменим $\tan\alpha$ на $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ (при условии $\cos\alpha \neq 0$):
$1 + \sin\alpha + \cos\alpha + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
Сгруппируем члены: $(1 + \cos\alpha) + (\sin\alpha + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha})$.
Вынесем $\sin\alpha$ за скобку во второй группе: $(1 + \cos\alpha) + \sin\alpha(1 + \frac{1}{\cos\alpha})$.
Приведем выражение во второй скобке к общему знаменателю: $(1 + \cos\alpha) + \sin\alpha(\frac{\cos\alpha + 1}{\cos\alpha})$.
Вынесем общий множитель $(1 + \cos\alpha)$: $(1 + \cos\alpha)(1 + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha})$.
Заменив дробь обратно на тангенс, получим: $(1 + \cos\alpha)(1 + \tan\alpha)$.
Ответ: $(1 + \cos\alpha)(1 + \tan\alpha)$.