Номер 1106, страница 315 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1106. Преобразовать в произведение:

1) $cos2\alpha - cos3\alpha - cos4\alpha + cos5\alpha;$

2) $sin4\alpha + sin6\alpha + sin8\alpha + sin10\alpha.$

Преобразуем выражение $\cos(2\alpha) - \cos(3\alpha) - \cos(4\alpha) + \cos(5\alpha)$.

Для удобства сгруппируем слагаемые: $(\cos(5\alpha) + \cos(2\alpha)) - (\cos(3\alpha) + \cos(4\alpha))$.

Воспользуемся формулой суммы косинусов: $\cos(x) + \cos(y) = 2\cos(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2})$.

Преобразуем первую группу:

$\cos(5\alpha) + \cos(2\alpha) = 2\cos(\frac{5\alpha+2\alpha}{2})\cos(\frac{5\alpha-2\alpha}{2}) = 2\cos(\frac{7\alpha}{2})\cos(\frac{3\alpha}{2})$.

Преобразуем вторую группу:

$\cos(3\alpha) + \cos(4\alpha) = 2\cos(\frac{3\alpha+4\alpha}{2})\cos(\frac{3\alpha-4\alpha}{2}) = 2\cos(\frac{7\alpha}{2})\cos(-\frac{\alpha}{2}) = 2\cos(\frac{7\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$.

Подставим полученные выражения обратно:

$2\cos(\frac{7\alpha}{2})\cos(\frac{3\alpha}{2}) - 2\cos(\frac{7\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$.

Вынесем общий множитель $2\cos(\frac{7\alpha}{2})$ за скобки:

$2\cos(\frac{7\alpha}{2})(\cos(\frac{3\alpha}{2}) - \cos(\frac{\alpha}{2}))$.

Теперь к выражению в скобках применим формулу разности косинусов: $\cos(x) - \cos(y) = -2\sin(\frac{x+y}{2})\sin(\frac{x-y}{2})$.

$\cos(\frac{3\alpha}{2}) - \cos(\frac{\alpha}{2}) = -2\sin(\frac{\frac{3\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}}{2})\sin(\frac{\frac{3\alpha}{2}-\frac{\alpha}{2}}{2}) = -2\sin(\frac{2\alpha}{2})\sin(\frac{\alpha}{2}) = -2\sin(\alpha)\sin(\frac{\alpha}{2})$.

Подставим это в итоговое выражение:

$2\cos(\frac{7\alpha}{2}) \cdot (-2\sin(\alpha)\sin(\frac{\alpha}{2})) = -4\sin(\frac{\alpha}{2})\sin(\alpha)\cos(\frac{7\alpha}{2})$.

Ответ: $-4\sin(\frac{\alpha}{2})\sin(\alpha)\cos(\frac{7\alpha}{2})$

Преобразуем выражение $\sin(4\alpha) + \sin(6\alpha) + \sin(8\alpha) + \sin(10\alpha)$.

Сгруппируем слагаемые: $(\sin(10\alpha) + \sin(4\alpha)) + (\sin(8\alpha) + \sin(6\alpha))$.

Воспользуемся формулой суммы синусов: $\sin(x) + \sin(y) = 2\sin(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2})$.

Преобразуем первую группу:

$\sin(10\alpha) + \sin(4\alpha) = 2\sin(\frac{10\alpha+4\alpha}{2})\cos(\frac{10\alpha-4\alpha}{2}) = 2\sin(7\alpha)\cos(3\alpha)$.

Преобразуем вторую группу:

$\sin(8\alpha) + \sin(6\alpha) = 2\sin(\frac{8\alpha+6\alpha}{2})\cos(\frac{8\alpha-6\alpha}{2}) = 2\sin(7\alpha)\cos(\alpha)$.

Подставим полученные выражения обратно:

$2\sin(7\alpha)\cos(3\alpha) + 2\sin(7\alpha)\cos(\alpha)$.

Вынесем общий множитель $2\sin(7\alpha)$ за скобки:

$2\sin(7\alpha)(\cos(3\alpha) + \cos(\alpha))$.

Теперь к выражению в скобках применим формулу суммы косинусов: $\cos(x) + \cos(y) = 2\cos(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2})$.

$\cos(3\alpha) + \cos(\alpha) = 2\cos(\frac{3\alpha+\alpha}{2})\cos(\frac{3\alpha-\alpha}{2}) = 2\cos(2\alpha)\cos(\alpha)$.

Подставим это в итоговое выражение:

$2\sin(7\alpha) \cdot (2\cos(2\alpha)\cos(\alpha)) = 4\cos(\alpha)\cos(2\alpha)\sin(7\alpha)$.

Ответ: $4\cos(\alpha)\cos(2\alpha)\sin(7\alpha)$