Номер 1104, страница 315 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1104. Преобразовать в произведение:

1) $1 - \sqrt{2}\sin\alpha;$

2) $\sin^2\alpha - 0,75;$

3) $\sin x + \sqrt{3}\cos x;$

4) $\sqrt{3}\sin x - \cos x.$

1) Для преобразования выражения $1 - \sqrt{2}\sin\alpha$ в произведение, представим $1$ как $\sin\frac{\pi}{2}$ и вынесем за скобки общий множитель $\sqrt{2}$ из второго слагаемого, чтобы получить известные значения синусов.
$1 - \sqrt{2}\sin\alpha = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}} - \sin\alpha) = \sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2} - \sin\alpha)$.
Мы знаем, что $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим это значение в выражение:
$\sqrt{2}(\sin\frac{\pi}{4} - \sin\alpha)$.
Теперь воспользуемся формулой разности синусов: $\sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$.
В нашем случае $A = \frac{\pi}{4}$ и $B = \alpha$.
$\sqrt{2} \cdot \left(2\cos\frac{\frac{\pi}{4}+\alpha}{2}\sin\frac{\frac{\pi}{4}-\alpha}{2}\right) = 2\sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{8}+\frac{\alpha}{2})\sin(\frac{\pi}{8}-\frac{\alpha}{2})$.
Ответ: $2\sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{8}+\frac{\alpha}{2})\sin(\frac{\pi}{8}-\frac{\alpha}{2})$

2) Чтобы преобразовать выражение $\sin^2\alpha - 0,75$, представим $0,75$ в виде квадрата тригонометрической функции. $0,75 = \frac{3}{4} = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2$.
Мы знаем, что $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно $\sin^2\frac{\pi}{3} = \frac{3}{4}$.
Выражение принимает вид разности квадратов синусов:
$\sin^2\alpha - \sin^2\frac{\pi}{3}$.
Применим формулу $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A+B)\sin(A-B)$.
$\sin^2\alpha - \sin^2\frac{\pi}{3} = \sin(\alpha+\frac{\pi}{3})\sin(\alpha-\frac{\pi}{3})$.
Ответ: $\sin(\alpha+\frac{\pi}{3})\sin(\alpha-\frac{\pi}{3})$

3) Выражение $\sin x + \sqrt{3}\cos x$ является линейной комбинацией синуса и косинуса вида $a\sin x + b\cos x$. Для его преобразования в произведение используется метод введения вспомогательного угла.
Вынесем за скобки множитель $R = \sqrt{a^2+b^2}$. В нашем случае $a=1, b=\sqrt{3}$, поэтому $R = \sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.
$2(\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x)$.
Заметим, что $\frac{1}{2} = \cos\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin\frac{\pi}{3}$. Подставим эти значения:
$2(\cos\frac{\pi}{3}\sin x + \sin\frac{\pi}{3}\cos x)$.
Выражение в скобках соответствует формуле синуса суммы: $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$.
$2\sin(x+\frac{\pi}{3})$.
Ответ: $2\sin(x+\frac{\pi}{3})$

4) Выражение $\sqrt{3}\sin x - \cos x$ преобразуется аналогично предыдущему пункту.
Выносим за скобки множитель $R = \sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.
$2(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x)$.
Заметим, что $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\frac{\pi}{6}$ и $\frac{1}{2} = \sin\frac{\pi}{6}$. Подставим эти значения:
$2(\cos\frac{\pi}{6}\sin x - \sin\frac{\pi}{6}\cos x)$.
Выражение в скобках соответствует формуле синуса разности: $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$.
$2\sin(x-\frac{\pi}{6})$.
Ответ: $2\sin(x-\frac{\pi}{6})$