Номер 1108, страница 316 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Преобразовать в сумму произведение (1108–1109).

1108. 1) $sin10^\circ sin20^\circ$;

2) $sin\frac{\pi}{4} cos\frac{\pi}{6}$;

3) $cos35^\circ sin25^\circ$;

4) $cos15^\circ cos5^\circ$;

5) $sin(x + \alpha)cos(x - \alpha)$;

6) $cos(x + \alpha)cos(x - \alpha).$

1) Для преобразования произведения синусов $ \sin10^\circ \sin20^\circ $ в сумму воспользуемся формулой произведения синусов: $ \sin\alpha \sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)) $. В нашем случае $ \alpha = 10^\circ $ и $ \beta = 20^\circ $. Подставим значения в формулу: $ \sin10^\circ \sin20^\circ = \frac{1}{2}(\cos(10^\circ-20^\circ) - \cos(10^\circ+20^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos(-10^\circ) - \cos(30^\circ)) $. Так как функция косинуса является чётной ($ \cos(-x) = \cos(x) $), получаем: $ \frac{1}{2}(\cos(10^\circ) - \cos(30^\circ)) $. Ответ: $ \frac{1}{2}(\cos10^\circ - \cos30^\circ) $.

2) Для преобразования произведения $ \sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6} $ в сумму воспользуемся формулой произведения синуса на косинус: $ \sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)) $. В данном случае $ \alpha = \frac{\pi}{4} $ и $ \beta = \frac{\pi}{6} $. Найдем сумму и разность углов: $ \alpha + \beta = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{12} + \frac{2\pi}{12} = \frac{5\pi}{12} $. $ \alpha - \beta = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{12} - \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{12} $. Подставляем полученные значения в формулу: $ \sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}(\sin\frac{5\pi}{12} + \sin\frac{\pi}{12}) $. Ответ: $ \frac{1}{2}(\sin\frac{5\pi}{12} + \sin\frac{\pi}{12}) $.

3) Для преобразования произведения $ \cos35^\circ \sin25^\circ $ в сумму воспользуемся формулой произведения косинуса на синус: $ \cos\alpha \sin\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta)) $. Здесь $ \alpha = 35^\circ $ и $ \beta = 25^\circ $. Подставляем значения в формулу: $ \cos35^\circ \sin25^\circ = \frac{1}{2}(\sin(35^\circ + 25^\circ) - \sin(35^\circ - 25^\circ)) = \frac{1}{2}(\sin60^\circ - \sin10^\circ) $. Ответ: $ \frac{1}{2}(\sin60^\circ - \sin10^\circ) $.

4) Для преобразования произведения косинусов $ \cos15^\circ \cos5^\circ $ в сумму воспользуемся формулой: $ \cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)) $. В данном случае $ \alpha = 15^\circ $ и $ \beta = 5^\circ $. Подставляем значения в формулу: $ \cos15^\circ \cos5^\circ = \frac{1}{2}(\cos(15^\circ - 5^\circ) + \cos(15^\circ + 5^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos10^\circ + \cos20^\circ) $. Ответ: $ \frac{1}{2}(\cos10^\circ + \cos20^\circ) $.

5) Для преобразования произведения $ \sin(x + \alpha)\cos(x - \alpha) $ в сумму используем формулу $ \sin A \cos B = \frac{1}{2}(\sin(A+B) + \sin(A-B)) $. Пусть $ A = x + \alpha $ и $ B = x - \alpha $. Найдем сумму и разность аргументов $ A $ и $ B $: $ A + B = (x + \alpha) + (x - \alpha) = 2x $. $ A - B = (x + \alpha) - (x - \alpha) = x + \alpha - x + \alpha = 2\alpha $. Подставляем в формулу: $ \sin(x + \alpha)\cos(x - \alpha) = \frac{1}{2}(\sin(2x) + \sin(2\alpha)) $. Ответ: $ \frac{1}{2}(\sin(2x) + \sin(2\alpha)) $.

6) Для преобразования произведения $ \cos(x + \alpha)\cos(x - \alpha) $ в сумму используем формулу $ \cos A \cos B = \frac{1}{2}(\cos(A-B) + \cos(A+B)) $. Пусть $ A = x + \alpha $ и $ B = x - \alpha $. Найдем разность и сумму аргументов $ A $ и $ B $: $ A - B = (x + \alpha) - (x - \alpha) = 2\alpha $. $ A + B = (x + \alpha) + (x - \alpha) = 2x $. Подставляем в формулу: $ \cos(x + \alpha)\cos(x - \alpha) = \frac{1}{2}(\cos(2\alpha) + \cos(2x)) $. Ответ: $ \frac{1}{2}(\cos(2\alpha) + \cos(2x)) $.