Номер 1109, страница 316 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1109. 1) $2\cos^2\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)$;

2) $4\cos x \cdot \sin^2\frac{x}{2}$;

3) $\sin^3\alpha$;

4) $4\cos^4\alpha$.

1)

Для понижения степени выражения $2\cos^2(\alpha - \frac{\pi}{4})$ воспользуемся формулой понижения степени для косинуса: $2\cos^2(x) = 1 + \cos(2x)$.

В нашем случае $x = \alpha - \frac{\pi}{4}$. Применяя формулу, получаем:

$2\cos^2\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) = 1 + \cos\left(2\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)\right)$

Упростим аргумент косинуса:

$1 + \cos\left(2\alpha - 2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = 1 + \cos\left(2\alpha - \frac{\pi}{2}\right)$

Теперь используем формулу приведения $\cos(y - \frac{\pi}{2}) = \sin(y)$. Пусть $y = 2\alpha$.

$1 + \cos\left(2\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = 1 + \sin(2\alpha)$

Ответ: $1 + \sin(2\alpha)$.

2)

Для преобразования выражения $4\cos x \cdot \sin^2\frac{x}{2}$ используем формулу понижения степени для синуса: $\sin^2\frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2}$.

Подставим эту формулу в исходное выражение:

$4\cos x \cdot \left(\frac{1 - \cos x}{2}\right) = 2\cos x (1 - \cos x)$

Раскроем скобки:

$2\cos x - 2\cos^2 x$

Теперь применим формулу понижения степени для косинуса $2\cos^2 x = 1 + \cos(2x)$ ко второму слагаемому:

$2\cos x - (1 + \cos(2x)) = 2\cos x - 1 - \cos(2x)$

Ответ: $2\cos x - \cos(2x) - 1$.

3)

Для понижения степени выражения $\sin^3\alpha$ представим его в виде произведения:

$\sin^3\alpha = \sin^2\alpha \cdot \sin\alpha$

Применим формулу понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$:

$\left(\frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}\right) \cdot \sin\alpha = \frac{1}{2}(\sin\alpha - \sin\alpha\cos(2\alpha))$

Для преобразования произведения $\sin\alpha\cos(2\alpha)$ в сумму воспользуемся формулой $2\sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$, откуда $\sin A \cos B = \frac{1}{2}(\sin(A+B) + \sin(A-B))$.

В нашем случае $A=\alpha$ и $B=2\alpha$:

$\sin\alpha\cos(2\alpha) = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+2\alpha) + \sin(\alpha-2\alpha)) = \frac{1}{2}(\sin(3\alpha) + \sin(-\alpha))$

Так как синус — нечетная функция, $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$. Следовательно:

$\sin\alpha\cos(2\alpha) = \frac{1}{2}(\sin(3\alpha) - \sin\alpha)$

Подставим это обратно в наше выражение:

$\frac{1}{2}\left(\sin\alpha - \frac{1}{2}(\sin(3\alpha) - \sin\alpha)\right) = \frac{1}{2}\left(\sin\alpha - \frac{1}{2}\sin(3\alpha) + \frac{1}{2}\sin\alpha\right)$

Упрощая, получаем:

$\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}\sin\alpha - \frac{1}{2}\sin(3\alpha)\right) = \frac{3}{4}\sin\alpha - \frac{1}{4}\sin(3\alpha)$

Ответ: $\frac{3}{4}\sin\alpha - \frac{1}{4}\sin(3\alpha)$.

4)

Для понижения степени выражения $4\cos^4\alpha$ представим его как $4(\cos^2\alpha)^2$.

Сначала применим формулу понижения степени $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$:

$4\left(\frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}\right)^2 = 4 \cdot \frac{(1 + \cos(2\alpha))^2}{4} = (1 + \cos(2\alpha))^2$

Раскроем квадрат суммы:

$1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \cos(2\alpha) + (\cos(2\alpha))^2 = 1 + 2\cos(2\alpha) + \cos^2(2\alpha)$

Теперь нужно понизить степень слагаемого $\cos^2(2\alpha)$, снова используя формулу понижения степени $\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$. В данном случае $x = 2\alpha$.

$\cos^2(2\alpha) = \frac{1 + \cos(2 \cdot 2\alpha)}{2} = \frac{1 + \cos(4\alpha)}{2}$

Подставим это в наше выражение:

$1 + 2\cos(2\alpha) + \frac{1 + \cos(4\alpha)}{2}$

Разделим дробь на два слагаемых и приведем подобные члены:

$1 + 2\cos(2\alpha) + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(4\alpha) = \left(1 + \frac{1}{2}\right) + 2\cos(2\alpha) + \frac{1}{2}\cos(4\alpha) = \frac{3}{2} + 2\cos(2\alpha) + \frac{1}{2}\cos(4\alpha)$

Ответ: $\frac{3}{2} + 2\cos(2\alpha) + \frac{1}{2}\cos(4\alpha)$.