gdz.top
Номер 1115, страница 317 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева
Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, синий
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава VIII. Тригонометрические формулы. §13. Произведение синусов и косинусов - номер 1115, страница 317.
№1114
№1115 (с. 317)
Условие. №1115 (с. 317)
1115. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения $ \sin \left(x + \frac{\pi}{8}\right)\cos \left(x - \frac{\pi}{24}\right) $.
Решение 1. №1115 (с. 317)
Решение 2. №1115 (с. 317)
Решение 3. №1115 (с. 317)
Решение 4. №1115 (с. 317)
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения $ \sin(x + \frac{\pi}{8})\cos(x - \frac{\pi}{24}) $ преобразуем его, используя тригонометрическую формулу произведения синуса на косинус:
$ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)] $
В нашем случае, пусть $ \alpha = x + \frac{\pi}{8} $ и $ \beta = x - \frac{\pi}{24} $.
Найдём сумму и разность этих углов:
$ \alpha + \beta = (x + \frac{\pi}{8}) + (x - \frac{\pi}{24}) = 2x + \frac{3\pi - \pi}{24} = 2x + \frac{2\pi}{24} = 2x + \frac{\pi}{12} $
$ \alpha - \beta = (x + \frac{\pi}{8}) - (x - \frac{\pi}{24}) = \frac{3\pi + \pi}{24} = \frac{4\pi}{24} = \frac{\pi}{6} $
Подставим найденные значения в исходную формулу:
$ \sin(x + \frac{\pi}{8})\cos(x - \frac{\pi}{24}) = \frac{1}{2}\left[\sin(2x + \frac{\pi}{12}) + \sin(\frac{\pi}{6})\right] $
Так как $ \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} $, выражение можно упростить:
$ \frac{1}{2}\left[\sin(2x + \frac{\pi}{12}) + \frac{1}{2}\right] = \frac{1}{2}\sin(2x + \frac{\pi}{12}) + \frac{1}{4} $
Теперь необходимо найти область значений полученного выражения. Мы знаем, что область значений функции синус находится в промежутке от -1 до 1, то есть $ -1 \le \sin(2x + \frac{\pi}{12}) \le 1 $.
Наибольшее значение выражения достигается при максимальном значении синуса, равном 1:
$ E_{\text{наиб}} = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $
Наименьшее значение выражения достигается при минимальном значении синуса, равном -1:
$ E_{\text{наим}} = \frac{1}{2} \cdot (-1) + \frac{1}{4} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = -\frac{1}{4} $
Ответ: наибольшее значение: $ \frac{3}{4} $; наименьшее значение: $ -\frac{1}{4} $.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 1115 расположенного на странице 317 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1115 (с. 317), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.