Страница 317 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1112. Доказать тождество:

1) $2\sin \alpha \sin 2\alpha + \cos 3\alpha = \cos \alpha;$

2) $2\sin 3\alpha \cos 4\alpha + \sin \alpha = \sin 7\alpha;$

3) $4\cos \frac{\alpha}{2} \cos \alpha \sin \frac{3\alpha}{2} = \sin \alpha + \sin 2\alpha + \sin 3\alpha;$

4) $4\cos 2\alpha \cos \left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{6}\right) \cos \left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = \cos \alpha + \cos 2\alpha + \cos 3\alpha.$

1) Доказать тождество $2\sin\alpha \sin2\alpha + \cos3\alpha = \cos\alpha$

Для доказательства преобразуем левую часть тождества. Воспользуемся формулой произведения синусов:

$2\sin x \sin y = \cos(x-y) - \cos(x+y)$

Применим эту формулу к выражению $2\sin\alpha \sin2\alpha$. Пусть $x = 2\alpha$ и $y = \alpha$.

$2\sin2\alpha \sin\alpha = \cos(2\alpha - \alpha) - \cos(2\alpha + \alpha) = \cos\alpha - \cos3\alpha$

Теперь подставим полученное выражение в левую часть исходного тождества:

$2\sin\alpha \sin2\alpha + \cos3\alpha = (\cos\alpha - \cos3\alpha) + \cos3\alpha$

Упрощаем выражение:

$\cos\alpha - \cos3\alpha + \cos3\alpha = \cos\alpha$

В результате преобразований левая часть стала равна правой части: $\cos\alpha = \cos\alpha$.

Ответ: Тождество доказано.

2) Доказать тождество $2\sin3\alpha \cos4\alpha + \sin\alpha = \sin7\alpha$

Преобразуем левую часть тождества, используя формулу произведения синуса на косинус:

$2\sin x \cos y = \sin(x+y) + \sin(x-y)$

Применим эту формулу к выражению $2\sin3\alpha \cos4\alpha$. Пусть $x = 3\alpha$ и $y = 4\alpha$.

$2\sin3\alpha \cos4\alpha = \sin(3\alpha + 4\alpha) + \sin(3\alpha - 4\alpha) = \sin(7\alpha) + \sin(-\alpha)$

Так как синус — нечетная функция, $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$. Следовательно:

$\sin(7\alpha) + \sin(-\alpha) = \sin7\alpha - \sin\alpha$

Подставим результат в левую часть исходного тождества:

$2\sin3\alpha \cos4\alpha + \sin\alpha = (\sin7\alpha - \sin\alpha) + \sin\alpha$

Упрощаем:

$\sin7\alpha - \sin\alpha + \sin\alpha = \sin7\alpha$

Левая часть равна правой: $\sin7\alpha = \sin7\alpha$.

Ответ: Тождество доказано.

3) Доказать тождество $4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\alpha\sin\frac{3\alpha}{2} = \sin\alpha + \sin2\alpha + \sin3\alpha$

Преобразуем левую часть тождества. Сгруппируем множители:

$4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\alpha\sin\frac{3\alpha}{2} = 2\cos\frac{\alpha}{2} \cdot (2\cos\alpha\sin\frac{3\alpha}{2})$

Применим формулу произведения синуса на косинус $2\sin x \cos y = \sin(x+y) + \sin(x-y)$ к выражению в скобках. Пусть $x = \frac{3\alpha}{2}$ и $y = \alpha$.

$2\sin\frac{3\alpha}{2}\cos\alpha = \sin(\frac{3\alpha}{2}+\alpha) + \sin(\frac{3\alpha}{2}-\alpha) = \sin\frac{5\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2}$

Подставим это обратно в выражение для левой части:

$2\cos\frac{\alpha}{2} \left( \sin\frac{5\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2} \right) = 2\sin\frac{5\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} + 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$

Теперь преобразуем каждое слагаемое.

Первое слагаемое: $2\sin\frac{5\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$. Используем ту же формулу, где $x = \frac{5\alpha}{2}$ и $y = \frac{\alpha}{2}$.

$2\sin\frac{5\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} = \sin(\frac{5\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}) + \sin(\frac{5\alpha}{2}-\frac{\alpha}{2}) = \sin\frac{6\alpha}{2} + \sin\frac{4\alpha}{2} = \sin3\alpha + \sin2\alpha$

Второе слагаемое: $2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$. Это формула синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$.

$2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} = \sin(2 \cdot \frac{\alpha}{2}) = \sin\alpha$

Соберем все вместе:

$(\sin3\alpha + \sin2\alpha) + \sin\alpha = \sin\alpha + \sin2\alpha + \sin3\alpha$

Левая часть равна правой.

Ответ: Тождество доказано.

4) Доказать тождество $4\cos2\alpha\cos\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{6}\right) = \cos\alpha + \cos2\alpha + \cos3\alpha$

Преобразуем левую часть. Сгруппируем множители:

$4\cos2\alpha\cos\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{6}\right) = 2\cos2\alpha \cdot \left[2\cos\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{6}\right)\right]$

К выражению в квадратных скобках применим формулу произведения косинусов:

$2\cos x \cos y = \cos(x+y) + \cos(x-y)$

Пусть $x = \frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{6}$ и $y = \frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{6}$.

$x+y = (\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{6}) + (\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{6}) = \alpha$

$x-y = (\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{6}) - (\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{6}) = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$

Тогда выражение в скобках равно:

$\cos\alpha + \cos\frac{\pi}{3} = \cos\alpha + \frac{1}{2}$

Подставим это в исходное выражение для левой части:

$2\cos2\alpha \left(\cos\alpha + \frac{1}{2}\right) = 2\cos2\alpha\cos\alpha + 2\cos2\alpha \cdot \frac{1}{2} = 2\cos2\alpha\cos\alpha + \cos2\alpha$

Теперь преобразуем слагаемое $2\cos2\alpha\cos\alpha$ по той же формуле произведения косинусов. Пусть $x = 2\alpha$ и $y = \alpha$.

$2\cos2\alpha\cos\alpha = \cos(2\alpha+\alpha) + \cos(2\alpha-\alpha) = \cos3\alpha + \cos\alpha$

Подставляем обратно и получаем:

$(\cos3\alpha + \cos\alpha) + \cos2\alpha = \cos\alpha + \cos2\alpha + \cos3\alpha$

Левая часть равна правой.

Ответ: Тождество доказано.

1113. Доказать:

1) $ \sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 60^\circ \sin 80^\circ = \frac{3}{16}; $

2) $ \text{tg } 20^\circ \text{ tg } 40^\circ \text{ tg } 60^\circ \text{ tg } 80^\circ = 3. $

1)

Требуется доказать, что $\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 60^\circ \sin 80^\circ = \frac{3}{16}$.

Преобразуем левую часть равенства. Для начала подставим известное значение $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 60^\circ \sin 80^\circ = (\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ) \cdot \sin 60^\circ = (\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь рассмотрим произведение $\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ$. Воспользуемся известным тригонометрическим тождеством:

$\sin x \cdot \sin(60^\circ - x) \cdot \sin(60^\circ + x) = \frac{1}{4} \sin(3x)$.

В нашем случае можно положить $x = 20^\circ$. Тогда множители будут $\sin 20^\circ$, $\sin(60^\circ - 20^\circ) = \sin 40^\circ$ и $\sin(60^\circ + 20^\circ) = \sin 80^\circ$. Применим тождество:

$\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ = \frac{1}{4} \sin(3 \cdot 20^\circ) = \frac{1}{4} \sin 60^\circ$.

Подставим значение $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$\frac{1}{4} \sin 60^\circ = \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{8}$.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$(\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{8} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{16}$.

Таким образом, левая часть равна правой. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

2)

Требуется доказать, что $\tan 20^\circ \tan 40^\circ \tan 60^\circ \tan 80^\circ = 3$.

Преобразуем левую часть равенства. Подставим известное значение $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$:

$\tan 20^\circ \tan 40^\circ \tan 60^\circ \tan 80^\circ = (\tan 20^\circ \tan 40^\circ \tan 80^\circ) \cdot \tan 60^\circ = (\tan 20^\circ \tan 40^\circ \tan 80^\circ) \cdot \sqrt{3}$.

Рассмотрим произведение $\tan 20^\circ \tan 40^\circ \tan 80^\circ$. Воспользуемся следующим тригонометрическим тождеством:

$\tan x \cdot \tan(60^\circ - x) \cdot \tan(60^\circ + x) = \tan(3x)$.

В нашем случае, как и в предыдущем пункте, $x = 20^\circ$. Тогда множители: $\tan 20^\circ$, $\tan(60^\circ - 20^\circ) = \tan 40^\circ$ и $\tan(60^\circ + 20^\circ) = \tan 80^\circ$. Применяем тождество:

$\tan 20^\circ \tan 40^\circ \tan 80^\circ = \tan(3 \cdot 20^\circ) = \tan 60^\circ$.

Мы знаем, что $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$.

Теперь подставим полученный результат в наше выражение:

$(\tan 20^\circ \tan 40^\circ \tan 80^\circ) \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$.

Левая часть равна правой. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

1114. При каком значении $x$ выражение $\cos\left(\frac{\pi}{4}+2x\right)\cos\left(\frac{\pi}{8}-2x\right)$ принимает наименьшее значение?

Чтобы найти значение $x$, при котором данное выражение принимает наименьшее значение, мы преобразуем его, используя тригонометрические формулы.

Исходное выражение: $y = \cos(\frac{\pi}{4} + 2x)\cos(\frac{\pi}{8} - 2x)$.

Применим формулу преобразования произведения косинусов в сумму:

$\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta))$

В данном случае, пусть $\alpha = \frac{\pi}{4} + 2x$ и $\beta = \frac{\pi}{8} - 2x$.

Теперь найдем сумму и разность этих аргументов:

$\alpha + \beta = (\frac{\pi}{4} + 2x) + (\frac{\pi}{8} - 2x) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{8} = \frac{2\pi}{8} + \frac{\pi}{8} = \frac{3\pi}{8}$

$\alpha - \beta = (\frac{\pi}{4} + 2x) - (\frac{\pi}{8} - 2x) = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{8} + 2x + 2x = \frac{2\pi}{8} - \frac{\pi}{8} + 4x = \frac{\pi}{8} + 4x$

Подставим результаты обратно в формулу:

$y = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{3\pi}{8}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{8} + 4x\right)\right)$

В полученном выражении слагаемое $\cos(\frac{3\pi}{8})$ является постоянной величиной (константой). Следовательно, значение всего выражения $y$ зависит только от слагаемого $\cos(\frac{\pi}{8} + 4x)$.

Чтобы выражение $y$ приняло наименьшее значение, необходимо, чтобы $\cos(\frac{\pi}{8} + 4x)$ принял свое наименьшее возможное значение.

Наименьшее значение для функции косинус равно $-1$. Таким образом, мы должны решить следующее уравнение:

$\cos(\frac{\pi}{8} + 4x) = -1$

Решением этого тригонометрического уравнения является серия значений, для которых аргумент косинуса равен $\pi + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$):

$\frac{\pi}{8} + 4x = \pi + 2\pi k$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$4x = \pi - \frac{\pi}{8} + 2\pi k$

$4x = \frac{8\pi - \pi}{8} + 2\pi k$

$4x = \frac{7\pi}{8} + 2\pi k$

Разделим обе части на 4:

$x = \frac{7\pi}{32} + \frac{2\pi k}{4}$

$x = \frac{7\pi}{32} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{7\pi}{32} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

1115. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения $ \sin \left(x + \frac{\pi}{8}\right)\cos \left(x - \frac{\pi}{24}\right) $.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения $ \sin(x + \frac{\pi}{8})\cos(x - \frac{\pi}{24}) $ преобразуем его, используя тригонометрическую формулу произведения синуса на косинус:

$ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)] $

В нашем случае, пусть $ \alpha = x + \frac{\pi}{8} $ и $ \beta = x - \frac{\pi}{24} $.

Найдём сумму и разность этих углов:

$ \alpha + \beta = (x + \frac{\pi}{8}) + (x - \frac{\pi}{24}) = 2x + \frac{3\pi - \pi}{24} = 2x + \frac{2\pi}{24} = 2x + \frac{\pi}{12} $

$ \alpha - \beta = (x + \frac{\pi}{8}) - (x - \frac{\pi}{24}) = \frac{3\pi + \pi}{24} = \frac{4\pi}{24} = \frac{\pi}{6} $

Подставим найденные значения в исходную формулу:

$ \sin(x + \frac{\pi}{8})\cos(x - \frac{\pi}{24}) = \frac{1}{2}\left[\sin(2x + \frac{\pi}{12}) + \sin(\frac{\pi}{6})\right] $

Так как $ \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} $, выражение можно упростить:

$ \frac{1}{2}\left[\sin(2x + \frac{\pi}{12}) + \frac{1}{2}\right] = \frac{1}{2}\sin(2x + \frac{\pi}{12}) + \frac{1}{4} $

Теперь необходимо найти область значений полученного выражения. Мы знаем, что область значений функции синус находится в промежутке от -1 до 1, то есть $ -1 \le \sin(2x + \frac{\pi}{12}) \le 1 $.

Наибольшее значение выражения достигается при максимальном значении синуса, равном 1:

$ E_{\text{наиб}} = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $

Наименьшее значение выражения достигается при минимальном значении синуса, равном -1:

$ E_{\text{наим}} = \frac{1}{2} \cdot (-1) + \frac{1}{4} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = -\frac{1}{4} $

Ответ: наибольшее значение: $ \frac{3}{4} $; наименьшее значение: $ -\frac{1}{4} $.

1116. Решить уравнение:

1) $cos4x \cos2x = \cos5x \cos x;$

2) $sin5x \sin x = \sin7x \sin3x;$

3) $\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=1;$

4) $2\sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)+\sin^2x=0.$

1) $ \cos4x \cos2x = \cos5x \cos x $

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму: $ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)) $.

Применим эту формулу к обеим частям уравнения:

Левая часть: $ \cos4x \cos2x = \frac{1}{2}(\cos(4x-2x) + \cos(4x+2x)) = \frac{1}{2}(\cos2x + \cos6x) $.

Правая часть: $ \cos5x \cos x = \frac{1}{2}(\cos(5x-x) + \cos(5x+x)) = \frac{1}{2}(\cos4x + \cos6x) $.

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$ \frac{1}{2}(\cos2x + \cos6x) = \frac{1}{2}(\cos4x + \cos6x) $

Умножим обе части на 2 и вычтем $ \cos6x $:

$ \cos2x = \cos4x $

Перенесем все в одну сторону и используем формулу разности косинусов $ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ \cos4x - \cos2x = 0 $

$ -2\sin\frac{4x+2x}{2}\sin\frac{4x-2x}{2} = 0 $

$ -2\sin3x\sin x = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $ \sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

2. $ \sin 3x = 0 \Rightarrow 3x = \pi k \Rightarrow x = \frac{\pi k}{3} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Множество решений $ x = \pi n $ является подмножеством множества $ x = \frac{\pi k}{3} $ (при $ k=3n $). Следовательно, общее решение — это $ x = \frac{\pi k}{3} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \sin5x \sin x = \sin7x \sin3x $

Воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в сумму: $ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) $.

Левая часть: $ \sin5x \sin x = \frac{1}{2}(\cos(5x-x) - \cos(5x+x)) = \frac{1}{2}(\cos4x - \cos6x) $.

Правая часть: $ \sin7x \sin3x = \frac{1}{2}(\cos(7x-3x) - \cos(7x+3x)) = \frac{1}{2}(\cos4x - \cos10x) $.

Приравниваем обе части:

$ \frac{1}{2}(\cos4x - \cos6x) = \frac{1}{2}(\cos4x - \cos10x) $

$ \cos4x - \cos6x = \cos4x - \cos10x $

$ -\cos6x = -\cos10x $

$ \cos6x = \cos10x $

Перенесем все в одну сторону и применим формулу разности косинусов:

$ \cos10x - \cos6x = 0 $

$ -2\sin\frac{10x+6x}{2}\sin\frac{10x-6x}{2} = 0 $

$ -2\sin8x\sin2x = 0 $

Отсюда следует, что либо $ \sin8x=0 $, либо $ \sin2x=0 $.

1. $ \sin 2x = 0 \Rightarrow 2x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{2} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

2. $ \sin 8x = 0 \Rightarrow 8x = \pi k \Rightarrow x = \frac{\pi k}{8} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Решения $ x = \frac{\pi n}{2} $ являются частью решений $ x = \frac{\pi k}{8} $ (когда $ k=4n $), поэтому общим решением является $ x = \frac{\pi k}{8} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{8}, n \in \mathbb{Z} $.

3) $ \sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right) = 1 $

Для упрощения уравнения воспользуемся формулой приведения $ \sin \alpha = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) $.

Преобразуем первый множитель:

$ \sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \left(x+\frac{\pi}{3}\right)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{3\pi-2\pi}{6} - x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6} - x\right) $.

Так как функция косинуса четная, $ \cos\left(\frac{\pi}{6} - x\right) = \cos\left(-\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\right) = \cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right) $.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$ \cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right) \cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right) = 1 $

$ \cos^2\left(x-\frac{\pi}{6}\right) = 1 $

Это уравнение равносильно тому, что $ \cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right) = 1 $ или $ \cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right) = -1 $.

Это можно объединить в одно условие:

$ x-\frac{\pi}{6} = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Отсюда находим $ x $:

$ x = \frac{\pi}{6} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

4) $ 2\sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right) + \sin^2 x = 0 $

Сначала преобразуем произведение синусов, используя формулу $ 2\sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta) $.

Пусть $ \alpha = \frac{\pi}{4}+x $ и $ \beta = \frac{\pi}{4}-x $. Тогда:

$ \alpha - \beta = \left(\frac{\pi}{4}+x\right) - \left(\frac{\pi}{4}-x\right) = 2x $

$ \alpha + \beta = \left(\frac{\pi}{4}+x\right) + \left(\frac{\pi}{4}-x\right) = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} $

Следовательно, $ 2\sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right) = \cos(2x) - \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) $.

Поскольку $ \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $, то выражение равно $ \cos(2x) $.

Подставим это в исходное уравнение:

$ \cos(2x) + \sin^2 x = 0 $

Используем формулу двойного угла для косинуса: $ \cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x $.

$ (1 - 2\sin^2 x) + \sin^2 x = 0 $

$ 1 - \sin^2 x = 0 $

$ \sin^2 x = 1 $

Это означает, что $ \sin x = 1 $ или $ \sin x = -1 $. Решения этих уравнений можно объединить в одну серию:

$ x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

1117. Доказать тождество:

1) $ \sin \alpha \sin \beta \sin(\beta - \alpha) + \sin \beta \sin \gamma \sin(\gamma - \beta) + \sin \gamma \sin \alpha \sin(\alpha - \gamma) = \sin(\alpha - \beta)\sin(\beta - \gamma)\sin(\gamma - \alpha); $

2) $ \sin^2 \alpha + \sin^2 3\alpha + \cos 2\alpha \cos 4\alpha + \cos \alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha - 1 = \frac{\sin 6\alpha}{2\sin\alpha}; $

3) $ \frac{\sin \frac{5\alpha}{2}}{2\sin \frac{\alpha}{2}} = \frac{1}{2} + \cos \alpha + \cos 2\alpha. $

1) Докажем тождество:
$ \sin\alpha\sin\beta\sin(\beta-\alpha) + \sin\beta\sin\gamma\sin(\gamma-\beta) + \sin\gamma\sin\alpha\sin(\alpha-\gamma) = \sin(\alpha-\beta)\sin(\beta-\gamma)\sin(\gamma-\alpha) $

Обозначим левую часть тождества как L. Сгруппируем второе и третье слагаемые и вынесем общий множитель $\sin\gamma$:
$ L = \sin\alpha\sin\beta\sin(\beta-\alpha) + \sin\gamma(\sin\beta\sin(\gamma-\beta) + \sin\alpha\sin(\alpha-\gamma)) $

Преобразуем выражение в скобках, используя формулы синуса разности и группируя слагаемые:
$ \sin\beta(\sin\gamma\cos\beta - \cos\gamma\sin\beta) + \sin\alpha(\sin\alpha\cos\gamma - \cos\alpha\sin\gamma) = $
$ = \sin\beta\cos\beta\sin\gamma - \sin^2\beta\cos\gamma + \sin^2\alpha\cos\gamma - \sin\alpha\cos\alpha\sin\gamma $
$ = \cos\gamma(\sin^2\alpha - \sin^2\beta) - \sin\gamma(\sin\alpha\cos\alpha - \sin\beta\cos\beta) $

Применим формулу разности квадратов синусов $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A-B)\sin(A+B)$ и формулы двойного угла $\sin(2A)=2\sin A \cos A$:
$ \sin\alpha\cos\alpha - \sin\beta\cos\beta = \frac{1}{2}\sin(2\alpha) - \frac{1}{2}\sin(2\beta) = \frac{1}{2}(2\cos(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)) = \cos(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta) $
Тогда выражение в скобках равно:
$ \cos\gamma\sin(\alpha-\beta)\sin(\alpha+\beta) - \sin\gamma\cos(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta) $
Вынесем общий множитель $\sin(\alpha-\beta)$:
$ = \sin(\alpha-\beta)[\cos\gamma\sin(\alpha+\beta) - \sin\gamma\cos(\alpha+\beta)] $
Применив формулу синуса разности $\sin(A-B)=\sin A \cos B - \cos A \sin B$, получаем:
$ = \sin(\alpha-\beta)\sin((\alpha+\beta)-\gamma) = \sin(\alpha-\beta)\sin(\alpha+\beta-\gamma) $

Подставим это обратно в выражение для L:
$ L = \sin\alpha\sin\beta\sin(\beta-\alpha) + \sin\gamma\sin(\alpha-\beta)\sin(\alpha+\beta-\gamma) $
Используя $\sin(\beta-\alpha) = -\sin(\alpha-\beta)$, вынесем $\sin(\alpha-\beta)$ за скобки:
$ L = -\sin\alpha\sin\beta\sin(\alpha-\beta) + \sin\gamma\sin(\alpha-\beta)\sin(\alpha+\beta-\gamma) $
$ L = \sin(\alpha-\beta)[-\sin\alpha\sin\beta + \sin\gamma\sin(\alpha+\beta-\gamma)] $

Теперь преобразуем выражение во вторых скобках. Наша цель — показать, что оно равно $\sin(\beta-\gamma)\sin(\gamma-\alpha)$.
Раскроем $\sin(\alpha+\beta-\gamma)$ как синус разности:
$ [-\sin\alpha\sin\beta + \sin\gamma(\sin(\alpha+\beta)\cos\gamma - \cos(\alpha+\beta)\sin\gamma)] $
$ = -\sin\alpha\sin\beta + \sin\gamma\cos\gamma\sin(\alpha+\beta) - \sin^2\gamma\cos(\alpha+\beta) $
$ = -\sin\alpha\sin\beta + \sin\gamma\cos\gamma(\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta) - \sin^2\gamma(\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) $
$ = \sin\alpha\sin\beta(-1+\sin^2\gamma) + \sin\alpha\cos\beta\sin\gamma\cos\gamma + \cos\alpha\sin\beta\sin\gamma\cos\gamma - \cos\alpha\cos\beta\sin^2\gamma $
$ = -\sin\alpha\sin\beta\cos^2\gamma + \sin\alpha\cos\beta\sin\gamma\cos\gamma + \cos\alpha\sin\beta\sin\gamma\cos\gamma - \cos\alpha\cos\beta\sin^2\gamma $

С другой стороны, раскроем произведение $\sin(\beta-\gamma)\sin(\gamma-\alpha)$:
$ (\sin\beta\cos\gamma - \cos\beta\sin\gamma)(\sin\gamma\cos\alpha - \cos\gamma\sin\alpha) $
$ = \sin\beta\cos\gamma\sin\gamma\cos\alpha - \sin\beta\cos^2\gamma\sin\alpha - \cos\beta\sin^2\gamma\cos\alpha + \cos\beta\sin\gamma\cos\gamma\sin\alpha $
Сравнивая два полученных выражения, видим, что они идентичны.
Таким образом, $ [-\sin\alpha\sin\beta + \sin\gamma\sin(\alpha+\beta-\gamma)] = \sin(\beta-\gamma)\sin(\gamma-\alpha) $.

Окончательно для L получаем:
$ L = \sin(\alpha-\beta)\sin(\beta-\gamma)\sin(\gamma-\alpha) $
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество:
$ \sin^2\alpha + \sin^2 3\alpha + \cos 2\alpha \cos 4\alpha + \cos\alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha - 1 = \frac{\sin 6\alpha}{2\sin\alpha} $

Преобразуем левую часть (LHS). Используем формулы понижения степени $\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$ и произведения косинусов $\cos A \cos B = \frac{1}{2}(\cos(A-B)+\cos(A+B))$.

Сначала преобразуем первые два слагаемых и последнее:
$ \sin^2\alpha + \sin^2 3\alpha - 1 = \frac{1-\cos 2\alpha}{2} + \frac{1-\cos 6\alpha}{2} - 1 $
$ = \frac{1 - \cos 2\alpha + 1 - \cos 6\alpha - 2}{2} = \frac{-\cos 2\alpha - \cos 6\alpha}{2} = -\frac{1}{2}(\cos 2\alpha + \cos 6\alpha) $

Теперь преобразуем третье слагаемое:
$ \cos 2\alpha \cos 4\alpha = \frac{1}{2}(\cos(4\alpha-2\alpha) + \cos(4\alpha+2\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos 2\alpha + \cos 6\alpha) $

Подставим полученные выражения в левую часть тождества:
$ LHS = \left(-\frac{1}{2}(\cos 2\alpha + \cos 6\alpha)\right) + \left(\frac{1}{2}(\cos 2\alpha + \cos 6\alpha)\right) + \cos\alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha $
$ LHS = 0 + \cos\alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha = \cos\alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha $

Мы получили сумму косинусов, углы которых составляют арифметическую прогрессию. Для нахождения этой суммы $S$ домножим и разделим ее на $2\sin\alpha$:
$ S = \frac{( \cos\alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha ) \cdot 2\sin\alpha}{2\sin\alpha} $
Используем формулу $2\cos A \sin B = \sin(A+B) - \sin(A-B)$:
$ S = \frac{2\cos\alpha\sin\alpha + 2\cos 3\alpha\sin\alpha + 2\cos 5\alpha\sin\alpha}{2\sin\alpha} $
$ S = \frac{\sin 2\alpha + (\sin 4\alpha - \sin 2\alpha) + (\sin 6\alpha - \sin 4\alpha)}{2\sin\alpha} $
В числителе слагаемые взаимно уничтожаются (телескопическая сумма):
$ S = \frac{\cancel{\sin 2\alpha} + \cancel{\sin 4\alpha} - \cancel{\sin 2\alpha} + \sin 6\alpha - \cancel{\sin 4\alpha}}{2\sin\alpha} = \frac{\sin 6\alpha}{2\sin\alpha} $
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество:
$ \frac{\sin\frac{5\alpha}{2}}{2\sin\frac{\alpha}{2}} = \frac{1}{2} + \cos\alpha + \cos 2\alpha $

Преобразуем правую часть (RHS). Она представляет собой частный случай суммы Дирихле. Обозначим ее как $S$:
$ S = \frac{1}{2} + \cos\alpha + \cos 2\alpha $
Домножим и разделим $S$ на $2\sin\frac{\alpha}{2}$:
$ S = \frac{(\frac{1}{2} + \cos\alpha + \cos 2\alpha) \cdot 2\sin\frac{\alpha}{2}}{2\sin\frac{\alpha}{2}} $
Раскроем скобки в числителе:
$ S = \frac{2\sin\frac{\alpha}{2} \cdot \frac{1}{2} + 2\cos\alpha\sin\frac{\alpha}{2} + 2\cos 2\alpha\sin\frac{\alpha}{2}}{2\sin\frac{\alpha}{2}} $
$ S = \frac{\sin\frac{\alpha}{2} + 2\cos\alpha\sin\frac{\alpha}{2} + 2\cos 2\alpha\sin\frac{\alpha}{2}}{2\sin\frac{\alpha}{2}} $
Применим формулу $2\cos A \sin B = \sin(A+B) - \sin(A-B)$:
$ 2\cos\alpha\sin\frac{\alpha}{2} = \sin(\alpha+\frac{\alpha}{2}) - \sin(\alpha-\frac{\alpha}{2}) = \sin\frac{3\alpha}{2} - \sin\frac{\alpha}{2} $
$ 2\cos 2\alpha\sin\frac{\alpha}{2} = \sin(2\alpha+\frac{\alpha}{2}) - \sin(2\alpha-\frac{\alpha}{2}) = \sin\frac{5\alpha}{2} - \sin\frac{3\alpha}{2} $
Подставим это в числитель:
$ S = \frac{\sin\frac{\alpha}{2} + (\sin\frac{3\alpha}{2} - \sin\frac{\alpha}{2}) + (\sin\frac{5\alpha}{2} - \sin\frac{3\alpha}{2})}{2\sin\frac{\alpha}{2}} $
Слагаемые в числителе взаимно уничтожаются:
$ S = \frac{\cancel{\sin\frac{\alpha}{2}} + \cancel{\sin\frac{3\alpha}{2}} - \cancel{\sin\frac{\alpha}{2}} + \sin\frac{5\alpha}{2} - \cancel{\sin\frac{3\alpha}{2}}}{2\sin\frac{\alpha}{2}} = \frac{\sin\frac{5\alpha}{2}}{2\sin\frac{\alpha}{2}} $
Правая часть равна левой, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

1118. Найти:

1) cos$\alpha$, если sin$\alpha$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$;

2) tg$\alpha$, если cos$\alpha$ = $-\frac{\sqrt{5}}{3}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$;

3) sin$\alpha$, если tg$\alpha$ = $2\sqrt{2}$ и $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$;

4) cos$\alpha$, если ctg$\alpha$ = 2 и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$.

1) Для нахождения $\cos\alpha$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Из него следует, что $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$.
Подставим известное значение $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$:
$\cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{3}{9} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
Отсюда $\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{2}{3}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{3}$.
Согласно условию, угол $\alpha$ находится в интервале $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, что соответствует второй координатной четверти. В этой четверти косинус имеет отрицательный знак.
Таким образом, выбираем значение со знаком минус: $\cos\alpha = -\frac{\sqrt{6}}{3}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{6}}{3}$.

2) Для нахождения $\tg\alpha$ применим тригонометрическое тождество $1 + \tg^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$. Из него $\tg^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} - 1$.
Подставим известное значение $\cos\alpha = -\frac{\sqrt{5}}{3}$:
$\tg^2\alpha = \frac{1}{\left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2} - 1 = \frac{1}{\frac{5}{9}} - 1 = \frac{9}{5} - 1 = \frac{4}{5}$.
Отсюда $\tg\alpha = \pm\sqrt{\frac{4}{5}} = \pm\frac{2}{\sqrt{5}} = \pm\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
Согласно условию, угол $\alpha$ находится в интервале $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, что соответствует третьей координатной четверти. В этой четверти тангенс имеет положительный знак.
Таким образом, выбираем значение со знаком плюс: $\tg\alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.
Ответ: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

3) Для нахождения $\sin\alpha$ сначала найдем $\cos\alpha$ с помощью тождества $1 + \tg^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$. Из него $\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \tg^2\alpha}$.
Подставим известное значение $\tg\alpha = 2\sqrt{2}$:
$\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + (2\sqrt{2})^2} = \frac{1}{1 + 8} = \frac{1}{9}$.
Отсюда $\cos\alpha = \pm\frac{1}{3}$.
Согласно условию, угол $\alpha$ находится в интервале $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, что соответствует первой координатной четверти. В этой четверти косинус имеет положительный знак. Значит, $\cos\alpha = \frac{1}{3}$.
Теперь используем определение тангенса $\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, откуда $\sin\alpha = \tg\alpha \cdot \cos\alpha$.
$\sin\alpha = 2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
Ответ: $\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

4) Для нахождения $\cos\alpha$, зная $\ctg\alpha$, сначала найдем $\tg\alpha = \frac{1}{\ctg\alpha}$.
$\tg\alpha = \frac{1}{2}$.
Далее воспользуемся тождеством $1 + \tg^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$. Отсюда $\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \tg^2\alpha}$.
Подставим значение тангенса:
$\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + (\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5}$.
Отсюда $\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{4}{5}} = \pm\frac{2}{\sqrt{5}} = \pm\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
Согласно условию, угол $\alpha$ находится в интервале $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, что соответствует третьей координатной четверти. В этой четверти косинус имеет отрицательный знак.
Таким образом, выбираем значение со знаком минус: $\cos\alpha = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
Ответ: $-\frac{2\sqrt{5}}{5}$.