Номер 1134, страница 319 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1134. Вычислить значение выражения $\frac{4\sin2\alpha + 5\cos2\alpha}{2\sin2\alpha - 3\cos2\alpha}$, если $\text{ctg}\alpha = \frac{1}{3}$.

Для вычисления значения данного выражения можно использовать несколько способов. Один из самых рациональных — преобразовать выражение так, чтобы оно зависело от $\cot(2\alpha)$, значение которого, в свою очередь, можно найти, зная $\cot(\alpha)$.

Разделим числитель и знаменатель дроби на $\sin(2\alpha)$. Это действие корректно, поскольку если бы $\sin(2\alpha) = 0$, то $2\alpha = \pi k$ для любого целого $k$. Тогда $\alpha = \frac{\pi k}{2}$. При таких значениях $\alpha$ котангенс либо не определен (при четных $k$), либо равен нулю (при нечетных $k$), что противоречит условию $\cot(\alpha) = \frac{1}{3}$. Следовательно, $\sin(2\alpha) \neq 0$.

Выполним преобразование:

$$ \frac{4\sin(2\alpha) + 5\cos(2\alpha)}{2\sin(2\alpha) - 3\cos(2\alpha)} = \frac{\frac{4\sin(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} + \frac{5\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)}}{\frac{2\sin(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} - \frac{3\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)}} = \frac{4 + 5\cot(2\alpha)}{2 - 3\cot(2\alpha)} $$

Теперь необходимо найти значение $\cot(2\alpha)$. Воспользуемся формулой котангенса двойного угла:

$$ \cot(2\alpha) = \frac{\cot^2\alpha - 1}{2\cot\alpha} $$

Подставим в эту формулу заданное значение $\cot\alpha = \frac{1}{3}$:

$$ \cot(2\alpha) = \frac{(\frac{1}{3})^2 - 1}{2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{9} - 1}{\frac{2}{3}} = \frac{\frac{1 - 9}{9}}{\frac{2}{3}} = \frac{-\frac{8}{9}}{\frac{2}{3}} $$

Упростим полученную дробь:

$$ -\frac{8}{9} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 2} = -\frac{24}{18} = -\frac{4}{3} $$

Итак, мы нашли, что $\cot(2\alpha) = -\frac{4}{3}$.

Теперь подставим это значение в преобразованное выражение:

$$ \frac{4 + 5\cot(2\alpha)}{2 - 3\cot(2\alpha)} = \frac{4 + 5 \cdot (-\frac{4}{3})}{2 - 3 \cdot (-\frac{4}{3})} = \frac{4 - \frac{20}{3}}{2 + \frac{12}{3}} = \frac{\frac{12 - 20}{3}}{2 + 4} = \frac{-\frac{8}{3}}{6} $$

Завершим вычисления:

$$ \frac{-\frac{8}{3}}{6} = -\frac{8}{3 \cdot 6} = -\frac{8}{18} = -\frac{4}{9} $$

Ответ: $-\frac{4}{9}$.