gdz.top
Номер 1138, страница 319 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева
Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, синий
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава VIII. Тригонометрические формулы. Упражнения к главе VIII - номер 1138, страница 319.
№1137
№1138 (с. 319)
Условие. №1138 (с. 319)
Доказать тождество (1138–1140).
1138. $ \sin^2 \alpha + \cos \left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) \cdot \cos \left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \frac{1}{4} $
Решение 1. №1138 (с. 319)
Решение 2. №1138 (с. 319)
Решение 3. №1138 (с. 319)
Решение 4. №1138 (с. 319)
1138.
Чтобы доказать тождество, мы преобразуем левую часть выражения $sin^2\alpha + cos(\frac{\pi}{3} - \alpha) \cdot cos(\frac{\pi}{3} + \alpha)$.
Рассмотрим произведение косинусов $cos(\frac{\pi}{3} - \alpha) \cdot cos(\frac{\pi}{3} + \alpha)$. Для его упрощения можно воспользоваться одной из следующих формул:
- Формула преобразования произведения в сумму: $cos(x)cos(y) = \frac{1}{2}(cos(x-y) + cos(x+y))$.
- Формулы косинуса суммы и разности: $cos(A \pm B) = cosAcosB \mp sinAsinB$.
Воспользуемся вторым подходом, раскрыв каждый косинус по формуле, а затем перемножив результаты. Это эквивалентно применению готовой формулы $cos(A - B) \cdot cos(A + B) = cos^2A - sin^2B$.
В нашем случае $A = \frac{\pi}{3}$ и $B = \alpha$. Применим формулу:
$cos(\frac{\pi}{3} - \alpha) \cdot cos(\frac{\pi}{3} + \alpha) = cos^2(\frac{\pi}{3}) - sin^2(\alpha)$
Известно, что значение косинуса для угла $\frac{\pi}{3}$ равно $\frac{1}{2}$. Подставим это значение в выражение:
$cos^2(\frac{\pi}{3}) - sin^2(\alpha) = (\frac{1}{2})^2 - sin^2(\alpha) = \frac{1}{4} - sin^2(\alpha)$
Теперь подставим полученный результат обратно в левую часть исходного тождества:
$sin^2\alpha + (\frac{1}{4} - sin^2(\alpha))$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$sin^2\alpha + \frac{1}{4} - sin^2\alpha = (sin^2\alpha - sin^2\alpha) + \frac{1}{4} = 0 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$
В результате преобразования левая часть равенства оказалась равна $\frac{1}{4}$, что соответствует правой части. Таким образом, исходное равенство является тождеством.
Ответ: Тождество доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 1138 расположенного на странице 319 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1138 (с. 319), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.