Номер 1140, страница 319 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1140. 1) $4\sin\alpha \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) \sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \sin3\alpha;$

2) $\frac{(\cos\alpha + \sin\alpha)(1 - \operatorname{tg}\alpha)}{\sin\frac{\alpha}{2} \cdot \cos\frac{\alpha}{2}} + \frac{4(\cos\alpha - \sin\alpha)}{\sin\alpha + \cos\alpha} = \frac{4\sin\left(3\alpha + \frac{\pi}{4}\right)}{\sin2\alpha \cdot \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)}.$

1)

Необходимо доказать тождество: $4\sin\alpha \cdot \sin(\frac{\pi}{3} - \alpha) \sin(\frac{\pi}{3} + \alpha) = \sin(3\alpha)$.

Преобразуем левую часть равенства. Для произведения синусов $\sin(\frac{\pi}{3} - \alpha) \sin(\frac{\pi}{3} + \alpha)$ воспользуемся формулой $\sin(A - B)\sin(A + B) = \sin^2A - \sin^2B$.

При $A = \frac{\pi}{3}$ и $B = \alpha$ получаем:

$\sin(\frac{\pi}{3} - \alpha) \sin(\frac{\pi}{3} + \alpha) = \sin^2(\frac{\pi}{3}) - \sin^2\alpha$.

Значение $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно, $\sin^2(\frac{\pi}{3}) = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$.

Подставим полученное выражение в левую часть исходного тождества:

$4\sin\alpha \cdot (\frac{3}{4} - \sin^2\alpha) = 4\sin\alpha \cdot \frac{3}{4} - 4\sin\alpha \cdot \sin^2\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$.

Полученное выражение является формулой синуса тройного угла: $\sin(3\alpha) = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$.

Таким образом, мы показали, что левая часть тождества равна $\sin(3\alpha)$, что совпадает с правой частью.

Ответ: Тождество доказано.

2)

В условии задачи, по всей видимости, допущена опечатка. Тождество в представленном виде неверно. Если предположить, что в знаменателе первого слагаемого вместо $\sin^2\frac{\alpha}{2}\cos^2\frac{\alpha}{2}$ должно быть $\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$, тождество становится верным. Докажем исправленное тождество:

$\frac{(\cos\alpha + \sin\alpha)(1 - \tan\alpha)}{\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}} + \frac{4(\cos\alpha - \sin\alpha)}{\sin\alpha + \cos\alpha} = \frac{4\sin(3\alpha + \frac{\pi}{4})}{\sin2\alpha \cdot \sin(\alpha + \frac{\pi}{4})}$

Преобразуем левую часть (ЛЧ) по слагаемым.

Рассмотрим первое слагаемое $T_1 = \frac{(\cos\alpha + \sin\alpha)(1 - \tan\alpha)}{\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}$.

Преобразуем его числитель: $(\cos\alpha + \sin\alpha)(1 - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}) = (\cos\alpha + \sin\alpha)(\frac{\cos\alpha - \sin\alpha}{\cos\alpha}) = \frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\cos(2\alpha)}{\cos\alpha}$.

Знаменатель преобразуем по формуле синуса двойного угла: $\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2}\sin\alpha$.

Тогда $T_1 = \frac{\frac{\cos(2\alpha)}{\cos\alpha}}{\frac{1}{2}\sin\alpha} = \frac{2\cos(2\alpha)}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{4\cos(2\alpha)}{2\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{4\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} = 4\cot(2\alpha)$.

Рассмотрим второе слагаемое $T_2 = \frac{4(\cos\alpha - \sin\alpha)}{\sin\alpha + \cos\alpha}$.

Разделим числитель и знаменатель на $\cos\alpha \neq 0$:

$T_2 = \frac{4(1 - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha})}{1 + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{4(1 - \tan\alpha)}{1 + \tan\alpha}$.

Используя формулу тангенса разности $\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ и зная, что $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$, получаем:

$T_2 = 4 \cdot \frac{\tan(\frac{\pi}{4}) - \tan\alpha}{1 + \tan(\frac{\pi}{4})\tan\alpha} = 4\tan(\frac{\pi}{4} - \alpha)$.

Теперь сложим преобразованные слагаемые:

ЛЧ = $T_1 + T_2 = 4\cot(2\alpha) + 4\tan(\frac{\pi}{4} - \alpha) = 4\left(\frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} + \frac{\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)}{\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)}\right)$.

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

ЛЧ = $4 \cdot \frac{\cos(2\alpha)\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) + \sin(2\alpha)\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)}{\sin(2\alpha)\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)}$.

Числитель представляет собой формулу косинуса разности $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$:

$\cos(2\alpha)\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) + \sin(2\alpha)\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \cos\left(2\alpha - \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)\right) = \cos\left(3\alpha - \frac{\pi}{4}\right)$.

Таким образом, ЛЧ = $\frac{4\cos(3\alpha - \frac{\pi}{4})}{\sin(2\alpha)\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)}$.

Используем формулы приведения для завершения преобразования: $\cos(x) = \sin(\frac{\pi}{2} + x)$ и $\cos(y) = \sin(\frac{\pi}{2} - y)$.

$\cos(3\alpha - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{2} + 3\alpha - \frac{\pi}{4}) = \sin(3\alpha + \frac{\pi}{4})$.

$\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} - \alpha)) = \sin(\frac{\pi}{4} + \alpha)$.

Подставляя эти выражения, получаем:

ЛЧ = $\frac{4\sin(3\alpha + \frac{\pi}{4})}{\sin(2\alpha)\sin(\alpha + \frac{\pi}{4})}$.

Полученное выражение совпадает с правой частью (ПЧ) тождества.

Ответ: Тождество доказано (с учетом исправления опечатки в условии).