Номер 5, страница 320 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

5. Записать знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса по четвертям.

Знаки тригонометрических функций (синуса, косинуса, тангенса и котангенса) зависят от того, в какой координатной четверти находится угол. Для определения знаков используется единичная окружность, где точка, соответствующая углу $\alpha$, имеет координаты $(x, y)$. По определению, для этой точки:

• Синус угла – это ордината точки: $\sin(\alpha) = y$
• Косинус угла – это абсцисса точки: $\cos(\alpha) = x$
• Тангенс угла – это отношение ординаты к абсциссе: $\tan(\alpha) = \frac{y}{x}$
• Котангенс угла – это отношение абсциссы к ординате: $\cot(\alpha) = \frac{x}{y}$

Рассмотрим знаки в каждой из четырех координатных четвертей.

I четверть (от $0^\circ$ до $90^\circ$ или от $0$ до $\frac{\pi}{2}$ радиан)

В этой четверти абсцисса $x$ и ордината $y$ положительны ($x > 0, y > 0$). Следовательно:

• $\sin(\alpha) = y$ имеет знак «+» (положительный).
• $\cos(\alpha) = x$ имеет знак «+» (положительный).
• $\tan(\alpha) = \frac{y}{x}$ (отношение двух положительных чисел) имеет знак «+» (положительный).
• $\cot(\alpha) = \frac{x}{y}$ (отношение двух положительных чисел) имеет знак «+» (положительный).

Ответ: В I четверти все тригонометрические функции ($\sin$, $\cos$, $\tan$, $\cot$) имеют знак «+».

II четверть (от $90^\circ$ до $180^\circ$ или от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$ радиан)

В этой четверти абсцисса $x$ отрицательна, а ордината $y$ положительна ($x < 0, y > 0$). Следовательно:

• $\sin(\alpha) = y$ имеет знак «+» (положительный).
• $\cos(\alpha) = x$ имеет знак «-» (отрицательный).
• $\tan(\alpha) = \frac{y}{x}$ (отношение положительного числа к отрицательному) имеет знак «-» (отрицательный).
• $\cot(\alpha) = \frac{x}{y}$ (отношение отрицательного числа к положительному) имеет знак «-» (отрицательный).

Ответ: Во II четверти синус ($\sin$) имеет знак «+», а косинус ($\cos$), тангенс ($\tan$) и котангенс ($\cot$) имеют знак «-».

III четверть (от $180^\circ$ до $270^\circ$ или от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$ радиан)

В этой четверти абсцисса $x$ и ордината $y$ отрицательны ($x < 0, y < 0$). Следовательно:

• $\sin(\alpha) = y$ имеет знак «-» (отрицательный).
• $\cos(\alpha) = x$ имеет знак «-» (отрицательный).
• $\tan(\alpha) = \frac{y}{x}$ (отношение двух отрицательных чисел) имеет знак «+» (положительный).
• $\cot(\alpha) = \frac{x}{y}$ (отношение двух отрицательных чисел) имеет знак «+» (положительный).

Ответ: В III четверти тангенс ($\tan$) и котангенс ($\cot$) имеют знак «+», а синус ($\sin$) и косинус ($\cos$) имеют знак «-».

IV четверть (от $270^\circ$ до $360^\circ$ или от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$ радиан)

В этой четверти абсцисса $x$ положительна, а ордината $y$ отрицательна ($x > 0, y < 0$). Следовательно:

• $\sin(\alpha) = y$ имеет знак «-» (отрицательный).
• $\cos(\alpha) = x$ имеет знак «+» (положительный).
• $\tan(\alpha) = \frac{y}{x}$ (отношение отрицательного числа к положительному) имеет знак «-» (отрицательный).
• $\cot(\alpha) = \frac{x}{y}$ (отношение положительного числа к отрицательному) имеет знак «-» (отрицательный).

Ответ: В IV четверти косинус ($\cos$) имеет знак «+», а синус ($\sin$), тангенс ($\tan$) и котангенс ($\cot$) имеют знак «-».

Для удобства можно представить знаки в виде сводной таблицы: