Номер 1185, страница 336 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1185. 1) $(\operatorname{tg} x - 1)(\operatorname{tg} x + \sqrt{3}) = 0;$

2) $(\sqrt{3}\operatorname{tg} x + 1)(\operatorname{tg} x - \sqrt{3}) = 0;$

3) $(\operatorname{tg} x - 2)(2\cos x - 1) = 0;$

4) $(\operatorname{tg} x - 4.5)(1 + 2\sin x) = 0;$

5) $(\operatorname{tg} x + 4)(\operatorname{tg} \frac{x}{2} - 1) = 0;$

6) $(\operatorname{tg} \frac{x}{6} + 1)(\operatorname{tg} x - 1) = 0.$

1) $(\text{tg} \, x - 1)(\text{tg} \, x + \sqrt{3}) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла. Область допустимых значений (ОДЗ) для $\text{tg} \, x$ определяется условием $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Уравнение распадается на совокупность двух уравнений:

1) $\text{tg} \, x - 1 = 0 \implies \text{tg} \, x = 1$

$x = \text{arctg}(1) + \pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\text{tg} \, x + \sqrt{3} = 0 \implies \text{tg} \, x = -\sqrt{3}$

$x = \text{arctg}(-\sqrt{3}) + \pi m \implies x = -\frac{\pi}{3} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Оба множества решений удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{3} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

2) $(\sqrt{3}\text{tg} \, x + 1)(\text{tg} \, x - \sqrt{3}) = 0$

ОДЗ: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Уравнение равносильно совокупности:

1) $\sqrt{3}\text{tg} \, x + 1 = 0 \implies \text{tg} \, x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

$x = \text{arctg}(-\frac{1}{\sqrt{3}}) + \pi n \implies x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\text{tg} \, x - \sqrt{3} = 0 \implies \text{tg} \, x = \sqrt{3}$

$x = \text{arctg}(\sqrt{3}) + \pi m \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Оба множества решений удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{3} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

3) $(\text{tg} \, x - 2)(2\cos x - 1) = 0$

ОДЗ: $\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Уравнение равносильно совокупности:

1) $\text{tg} \, x - 2 = 0 \implies \text{tg} \, x = 2$

$x = \text{arctg}(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Эти решения удовлетворяют ОДЗ.

2) $2\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{2}$

$x = \pm\text{arccos}(\frac{1}{2}) + 2\pi m \implies x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Для этих значений $x$, $\cos x = \frac{1}{2} \neq 0$, поэтому $\text{tg} \, x$ определен. Следовательно, эти решения также подходят.

Ответ: $x = \text{arctg}(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

4) $(\text{tg} \, x - 4,5)(1 + 2\sin x) = 0$

ОДЗ: $\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Уравнение равносильно совокупности:

1) $\text{tg} \, x - 4,5 = 0 \implies \text{tg} \, x = 4,5$

$x = \text{arctg}(4,5) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Эти решения удовлетворяют ОДЗ.

2) $1 + 2\sin x = 0 \implies \sin x = -\frac{1}{2}$

$x = (-1)^{m}\text{arcsin}(-\frac{1}{2}) + \pi m \implies x = (-1)^{m+1}\frac{\pi}{6} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Проверим ОДЗ для второго случая. Если $\sin x = -1/2$, то $\cos^2 x = 1 - (-1/2)^2 = 3/4$, значит $\cos x = \pm\frac{\sqrt{3}}{2} \neq 0$. Следовательно, $\text{tg} \, x$ определен, и эти решения подходят.

Ответ: $x = \text{arctg}(4,5) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^{m+1}\frac{\pi}{6} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

5) $(\text{tg} \, x + 4)(\text{tg}\frac{x}{2} - 1) = 0$

ОДЗ: $\cos x \neq 0$ и $\cos\frac{x}{2} \neq 0$.

$\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

$\cos\frac{x}{2} \neq 0 \implies \frac{x}{2} \neq \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x \neq \pi + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая:

1) $\text{tg} \, x + 4 = 0 \implies \text{tg} \, x = -4$

$x = \text{arctg}(-4) + \pi n = -\text{arctg}(4) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Эти решения удовлетворяют обоим условиям ОДЗ.

2) $\text{tg}\frac{x}{2} - 1 = 0 \implies \text{tg}\frac{x}{2} = 1$

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi m \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Эти значения не входят в ОДЗ, так как при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$ значение $\cos x = \cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi m) = 0$, и, следовательно, $\text{tg} \, x$ не определен. Таким образом, это посторонние корни.

Ответ: $x = -\text{arctg}(4) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

6) $(\text{tg}\frac{x}{6} + 1)(\text{tg} \, x - 1) = 0$

ОДЗ: $\cos\frac{x}{6} \neq 0$ и $\cos x \neq 0$.

$\cos\frac{x}{6} \neq 0 \implies \frac{x}{6} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \neq 3\pi + 6\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

$\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая:

1) $\text{tg}\frac{x}{6} + 1 = 0 \implies \text{tg}\frac{x}{6} = -1$

$\frac{x}{6} = -\frac{\pi}{4} + \pi n \implies x = -\frac{3\pi}{2} + 6\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Эти значения не входят в ОДЗ, так как при $x = -\frac{3\pi}{2} + 6\pi n$ значение $\cos x = \cos(-\frac{3\pi}{2} + 6\pi n) = 0$, и, следовательно, $\text{tg} \, x$ не определен. Это посторонние корни.

2) $\text{tg} \, x - 1 = 0 \implies \text{tg} \, x = 1$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Эти решения удовлетворяют условию $\cos x \neq 0$. Проверим второе условие ОДЗ: $x \neq 3\pi + 6\pi k$. Равенство $\frac{\pi}{4} + \pi m = 3\pi + 6\pi k$ не имеет решений в целых числах $m, k$. Значит, эти решения подходят.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.