Номер 994, страница 290 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

994. Выяснить, какие значения может принимать:

1) cos $\alpha$, если sin $\alpha = \frac{2\sqrt{3}}{5}$;

2) sin $\alpha$, если cos $\alpha = -\frac{1}{\sqrt{5}}$;

3) sin $\alpha$, если cos $\alpha = -\frac{2}{3}$;

4) cos $\alpha$, если sin $\alpha = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

1) cos α, если sin α = $ \frac{2\sqrt{3}}{5} $

Для нахождения значения $ \cos\alpha $, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

Из этого тождества выразим $ \cos^2\alpha $:

$ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha $

Теперь подставим заданное значение $ \sin\alpha = \frac{2\sqrt{3}}{5} $ в формулу:

$ \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{2\sqrt{3}}{5}\right)^2 = 1 - \frac{2^2 \cdot (\sqrt{3})^2}{5^2} = 1 - \frac{4 \cdot 3}{25} = 1 - \frac{12}{25} $

Приведем к общему знаменателю и выполним вычитание:

$ \cos^2\alpha = \frac{25}{25} - \frac{12}{25} = \frac{13}{25} $

Чтобы найти $ \cos\alpha $, извлечем квадратный корень из полученного значения. Так как не указано, в какой четверти находится угол $ \alpha $, значение косинуса может быть как положительным, так и отрицательным.

$ \cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{13}{25}} = \pm\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{25}} = \pm\frac{\sqrt{13}}{5} $

Ответ: $ \pm\frac{\sqrt{13}}{5} $.

2) sin α, если cos α = $ -\frac{1}{\sqrt{5}} $

Используем основное тригонометрическое тождество: $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

Выразим $ \sin^2\alpha $:

$ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha $

Подставим известное значение $ \cos\alpha = -\frac{1}{\sqrt{5}} $:

$ \sin^2\alpha = 1 - \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 = 1 - \frac{1}{5} $

Вычислим разность:

$ \sin^2\alpha = \frac{5}{5} - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} $

Извлекая квадратный корень, получаем два возможных значения для $ \sin\alpha $:

$ \sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{4}{5}} = \pm\frac{2}{\sqrt{5}} $

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{5} $:

$ \sin\alpha = \pm\frac{2\sqrt{5}}{5} $

Ответ: $ \pm\frac{2\sqrt{5}}{5} $.

3) sin α, если cos α = $ -\frac{2}{3} $

Снова воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

Выразим $ \sin^2\alpha $:

$ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha $

Подставим значение $ \cos\alpha = -\frac{2}{3} $:

$ \sin^2\alpha = 1 - \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} $

Выполним вычитание:

$ \sin^2\alpha = \frac{9}{9} - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} $

Извлекая квадратный корень, находим возможные значения для $ \sin\alpha $:

$ \sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{5}{9}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{3} $

Ответ: $ \pm\frac{\sqrt{5}}{3} $.

4) cos α, если sin α = $ -\frac{1}{\sqrt{3}} $

Применим основное тригонометрическое тождество: $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

Выразим из него $ \cos^2\alpha $:

$ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha $

Подставим данное значение $ \sin\alpha = -\frac{1}{\sqrt{3}} $:

$ \cos^2\alpha = 1 - \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = 1 - \frac{1}{3} $

Вычислим разность:

$ \cos^2\alpha = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} $

Извлекая квадратный корень, находим возможные значения $ \cos\alpha $:

$ \cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{2}{3}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} $

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив дробь на $ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} $:

$ \cos\alpha = \pm\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{3} $

Ответ: $ \pm\frac{\sqrt{6}}{3} $.