Номер 991, страница 289 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

991. Выяснить, могут ли одновременно выполняться равенства:

1) sin $\alpha = \frac{\sqrt{2}}{3}$ и cos $\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$;

2) sin $\alpha = -\frac{4}{5}$ и cos $\alpha = -\frac{3}{5}$;

3) sin $\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{5}$ и cos $\alpha = \frac{\sqrt{23}}{5}$;

4) sin $\alpha = 0,2$ и cos $\alpha = 0,8$.

Для того чтобы выяснить, могут ли данные равенства выполняться одновременно для одного и того же угла $\alpha$, необходимо проверить, удовлетворяют ли они основному тригонометрическому тождеству: $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$. Если при подстановке заданных значений в это тождество оно обращается в верное равенство (т.е. $1=1$), то такие значения синуса и косинуса могут существовать одновременно. Если же равенство не выполняется, то не могут.

1) Дано: $sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{3}$ и $cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Подставим эти значения в основное тригонометрическое тождество:
$sin^2\alpha + cos^2\alpha = \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{2}{9} + \frac{3}{9} = \frac{5}{9}$.
Поскольку $\frac{5}{9} \neq 1$, данные равенства не могут выполняться одновременно.
Ответ: не могут.

2) Дано: $sin\alpha = -\frac{4}{5}$ и $cos\alpha = -\frac{3}{5}$.
Подставим эти значения в тождество:
$sin^2\alpha + cos^2\alpha = \left(-\frac{4}{5}\right)^2 + \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = \frac{25}{25} = 1$.
Поскольку $1 = 1$, тождество выполняется. Следовательно, данные равенства могут выполняться одновременно (это соответствует углу $\alpha$ в III координатной четверти).
Ответ: могут.

3) Дано: $sin\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{5}$ и $cos\alpha = \frac{\sqrt{23}}{5}$.
Подставим значения в тождество:
$sin^2\alpha + cos^2\alpha = \left(-\frac{\sqrt{3}}{5}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{23}}{5}\right)^2 = \frac{3}{25} + \frac{23}{25} = \frac{26}{25}$.
Поскольку $\frac{26}{25} \neq 1$, данные равенства не могут выполняться одновременно.
Ответ: не могут.

4) Дано: $sin\alpha = 0,2$ и $cos\alpha = 0,8$.
Подставим значения в тождество:
$sin^2\alpha + cos^2\alpha = (0,2)^2 + (0,8)^2 = 0,04 + 0,64 = 0,68$.
Поскольку $0,68 \neq 1$, данные равенства не могут выполняться одновременно.
Ответ: не могут.