Номер 992, страница 289 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

992. Вычислить:

1) sin $ \alpha $, tg $ \alpha $ и ctg $ \alpha $, если $ \cos \alpha = -\frac{3}{5} $ и $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $;

2) cos $ \alpha $, tg $ \alpha $ и ctg $ \alpha $, если $ \sin \alpha = -\frac{2}{5} $ и $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $.

1)

Дано: $cos(\alpha) = -\frac{3}{5}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Это означает, что угол $\alpha$ находится во второй координатной четверти.

Для нахождения $sin(\alpha)$ используем основное тригонометрическое тождество: $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$.

Подставляем известное значение $cos(\alpha)$:

$sin^2(\alpha) + \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1$

$sin^2(\alpha) + \frac{9}{25} = 1$

$sin^2(\alpha) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$sin(\alpha) = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5}$

Во второй четверти синус имеет положительное значение, поэтому $sin(\alpha) = \frac{4}{5}$.

Теперь найдем тангенс и котангенс.

$tg(\alpha) = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)} = \frac{4/5}{-3/5} = -\frac{4}{3}$.

$ctg(\alpha) = \frac{1}{tg(\alpha)} = \frac{1}{-4/3} = -\frac{3}{4}$.

Ответ: $sin(\alpha) = \frac{4}{5}$, $tg(\alpha) = -\frac{4}{3}$, $ctg(\alpha) = -\frac{3}{4}$.

2)

Дано: $sin(\alpha) = -\frac{2}{5}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Это означает, что угол $\alpha$ находится в третьей координатной четверти.

Для нахождения $cos(\alpha)$ используем основное тригонометрическое тождество: $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$.

Подставляем известное значение $sin(\alpha)$:

$\left(-\frac{2}{5}\right)^2 + cos^2(\alpha) = 1$

$\frac{4}{25} + cos^2(\alpha) = 1$

$cos^2(\alpha) = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}$

$cos(\alpha) = \pm\sqrt{\frac{21}{25}} = \pm\frac{\sqrt{21}}{5}$

В третьей четверти косинус имеет отрицательное значение, поэтому $cos(\alpha) = -\frac{\sqrt{21}}{5}$.

Теперь найдем тангенс и котангенс. В третьей четверти они оба положительны.

$tg(\alpha) = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)} = \frac{-2/5}{-\sqrt{21}/5} = \frac{2}{\sqrt{21}} = \frac{2\sqrt{21}}{21}$.

$ctg(\alpha) = \frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)} = \frac{-\sqrt{21}/5}{-2/5} = \frac{\sqrt{21}}{2}$.

Ответ: $cos(\alpha) = -\frac{\sqrt{21}}{5}$, $tg(\alpha) = \frac{2\sqrt{21}}{21}$, $ctg(\alpha) = \frac{\sqrt{21}}{2}$.