Номер 985, страница 287 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

985. Решить уравнение:

1) $sin(5\pi + x) = 1;$

2) $cos(x + 3\pi) = 0;$

3) $cos(\frac{5}{2}\pi + x) = -1;$

4) $sin(\frac{9}{2}\pi + x) = -1.$

1) Решим уравнение $sin(5\pi + x) = 1$.
Для упрощения аргумента воспользуемся периодичностью функции синус. Период синуса равен $2\pi$. Представим $5\pi$ как $4\pi + \pi$.
$sin(5\pi + x) = sin(4\pi + \pi + x) = sin(\pi + x)$.
Далее применим формулу приведения: $sin(\pi + x) = -sin(x)$.
Таким образом, исходное уравнение преобразуется к виду: $-sin(x) = 1$, что эквивалентно $sin(x) = -1$.
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Его решением является серия корней:
$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in Z$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in Z$.

2) Решим уравнение $cos(x + 3\pi) = 0$.
Воспользуемся периодичностью функции косинус. Период косинуса равен $2\pi$. Представим $3\pi$ как $2\pi + \pi$.
$cos(x + 3\pi) = cos(x + \pi + 2\pi) = cos(x + \pi)$.
По формуле приведения: $cos(x + \pi) = -cos(x)$.
Уравнение принимает вид: $-cos(x) = 0$, то есть $cos(x) = 0$.
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Его решением является серия корней:
$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in Z$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$.

3) Решим уравнение $cos(\frac{5}{2}\pi + x) = -1$.
Преобразуем аргумент, выделив целое число периодов ($2\pi$):
$\frac{5\pi}{2} = \frac{4\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$.
$cos(\frac{5}{2}\pi + x) = cos(2\pi + \frac{\pi}{2} + x) = cos(\frac{\pi}{2} + x)$.
Применим формулу приведения: $cos(\frac{\pi}{2} + x) = -sin(x)$.
Уравнение сводится к виду: $-sin(x) = -1$, или $sin(x) = 1$.
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Его решением является серия корней:
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in Z$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in Z$.

4) Решим уравнение $sin(\frac{9}{2}\pi + x) = -1$.
Преобразуем аргумент, выделив целое число периодов ($2\pi$):
$\frac{9\pi}{2} = \frac{8\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 4\pi + \frac{\pi}{2} = 2 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{2}$.
$sin(\frac{9}{2}\pi + x) = sin(4\pi + \frac{\pi}{2} + x) = sin(\frac{\pi}{2} + x)$.
Применим формулу приведения: $sin(\frac{\pi}{2} + x) = cos(x)$.
Уравнение сводится к виду: $cos(x) = -1$.
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Его решением является серия корней:
$x = \pi + 2\pi k$, где $k \in Z$.
Ответ: $x = \pi + 2\pi k, k \in Z$.