Номер 986, страница 287 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

986. Выяснить, в какой четверти находится точка, соответствующая числу $\alpha$, если:

1) $\sin \alpha + \cos \alpha = -1,4$;

2) $\sin \alpha - \cos \alpha = 1,4$.

1) Дано уравнение $\sin\alpha + \cos\alpha = -1,4$.

Чтобы определить знаки $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$, которые укажут на четверть, возведем обе части уравнения в квадрат: $(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = (-1,4)^2$

$\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = 1,96$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, мы можем упростить выражение: $1 + 2\sin\alpha\cos\alpha = 1,96$

Теперь найдем произведение $\sin\alpha\cos\alpha$: $2\sin\alpha\cos\alpha = 1,96 - 1$ $2\sin\alpha\cos\alpha = 0,96$ $\sin\alpha\cos\alpha = 0,48$

Поскольку произведение $\sin\alpha\cos\alpha$ положительно ($\sin\alpha\cos\alpha > 0$), это означает, что $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ имеют одинаковые знаки. Такое возможно в I или III координатных четвертях.

Чтобы определить, какая из этих двух четвертей является правильной, вернемся к исходному уравнению: $\sin\alpha + \cos\alpha = -1,4$.

• В I четверти $\sin\alpha > 0$ и $\cos\alpha > 0$, поэтому их сумма должна быть положительной. Это противоречит условию, так как $-1,4 < 0$.
• В III четверти $\sin\alpha < 0$ и $\cos\alpha < 0$, поэтому их сумма будет отрицательной. Это соответствует условию.

Следовательно, точка, соответствующая числу $\alpha$, находится в III четверти.

Ответ: III четверть.

2) Дано уравнение $\sin\alpha - \cos\alpha = 1,4$.

Так же, как и в первом случае, возведем обе части уравнения в квадрат: $(\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = (1,4)^2$

$\sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = 1,96$

Применяя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем: $1 - 2\sin\alpha\cos\alpha = 1,96$

Теперь найдем произведение $\sin\alpha\cos\alpha$: $-2\sin\alpha\cos\alpha = 1,96 - 1$ $-2\sin\alpha\cos\alpha = 0,96$ $\sin\alpha\cos\alpha = -0,48$

Поскольку произведение $\sin\alpha\cos\alpha$ отрицательно ($\sin\alpha\cos\alpha < 0$), это означает, что $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ имеют разные знаки. Такое возможно во II или IV координатных четвертях.

Для выбора правильной четверти обратимся к исходному уравнению: $\sin\alpha - \cos\alpha = 1,4$.

• Во II четверти $\sin\alpha > 0$ и $\cos\alpha < 0$. Разность $\sin\alpha - \cos\alpha$ будет равна (положительное число) - (отрицательное число), что всегда дает положительный результат. Это соответствует условию, так как $1,4 > 0$.
• В IV четверти $\sin\alpha < 0$ и $\cos\alpha > 0$. Разность $\sin\alpha - \cos\alpha$ будет равна (отрицательное число) - (положительное число), что всегда дает отрицательный результат. Это противоречит условию.

Следовательно, точка, соответствующая числу $\alpha$, находится во II четверти.

Ответ: II четверть.