Страница 287 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

981. Выяснить, каковы знаки чисел $\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $\operatorname{tg} \alpha$, $\operatorname{ctg} \alpha$, если:

1) $3\pi < \alpha < \frac{10}{3}\pi$;

2) $\frac{5\pi}{2} < \alpha < \frac{11\pi}{4}$.

1) Рассмотрим неравенство $3\pi < \alpha < \frac{10\pi}{3}$.

Чтобы определить координатную четверть, в которой находится угол $\alpha$, найдем эквивалентный ему угол в промежутке от $0$ до $2\pi$. Для этого вычтем из границ неравенства период $2\pi$ (полный оборот):
Нижняя граница: $3\pi - 2\pi = \pi$.
Верхняя граница: $\frac{10\pi}{3} - 2\pi = \frac{10\pi}{3} - \frac{6\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.

Таким образом, угол $\alpha$ принадлежит интервалу, эквивалентному $(\pi, \frac{4\pi}{3})$. Этот интервал находится в III координатной четверти, поскольку $\pi < \frac{4\pi}{3} < \frac{3\pi}{2}$.

В III четверти знаки тригонометрических функций следующие:
- $\sin\alpha$ (синус) отрицателен, так как ордината (координата y) в этой четверти отрицательна. Значит, $\sin\alpha < 0$.
- $\cos\alpha$ (косинус) отрицателен, так как абсцисса (координата x) в этой четверти отрицательна. Значит, $\cos\alpha < 0$.
- $\text{tg}\,\alpha$ и $\text{ctg}\,\alpha$ являются отношениями синуса и косинуса. Так как $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ имеют одинаковые знаки (оба отрицательны), их отношение будет положительным. Значит, $\text{tg}\,\alpha > 0$ и $\text{ctg}\,\alpha > 0$.

Ответ: $\sin\alpha < 0$, $\cos\alpha < 0$, $\text{tg}\,\alpha > 0$, $\text{ctg}\,\alpha > 0$.

2) Рассмотрим неравенство $\frac{5\pi}{2} < \alpha < \frac{11\pi}{4}$.

Приведем угол $\alpha$ к основному промежутку от $0$ до $2\pi$, вычтя из границ неравенства период $2\pi$:
Нижняя граница: $\frac{5\pi}{2} - 2\pi = \frac{5\pi}{2} - \frac{4\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.
Верхняя граница: $\frac{11\pi}{4} - 2\pi = \frac{11\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Таким образом, угол $\alpha$ принадлежит интервалу, эквивалентному $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4})$. Этот интервал находится во II координатной четверти, поскольку $\frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{4} < \pi$.

Во II четверти знаки тригонометрических функций следующие:
- $\sin\alpha$ (синус) положителен, так как ордината (координата y) в этой четверти положительна. Значит, $\sin\alpha > 0$.
- $\cos\alpha$ (косинус) отрицателен, так как абсцисса (координата x) в этой четверти отрицательна. Значит, $\cos\alpha < 0$.
- $\text{tg}\,\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. Отношение положительного и отрицательного чисел отрицательно. Значит, $\text{tg}\,\alpha < 0$.
- $\text{ctg}\,\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$. Отношение отрицательного и положительного чисел отрицательно. Значит, $\text{ctg}\,\alpha < 0$.

Ответ: $\sin\alpha > 0$, $\cos\alpha < 0$, $\text{tg}\,\alpha < 0$, $\text{ctg}\,\alpha < 0$.

982. Найти значения углов $\alpha$ из промежутка от 0 до $2\pi$, знаки синуса и косинуса которых совпадают; различны.

Для решения задачи проанализируем знаки тригонометрических функций синуса и косинуса в зависимости от угла $\alpha$ на единичной окружности. Рассматривается промежуток от 0 до $2\pi$.

Знак синуса ($\sin \alpha$) соответствует знаку ординаты (координаты y) точки на единичной окружности, а знак косинуса ($\cos \alpha$) — знаку абсциссы (координаты x). Вспомним знаки по координатным четвертям:

• I четверть ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$): $\cos \alpha > 0$ (x > 0), $\sin \alpha > 0$ (y > 0). Знаки совпадают.
• II четверть ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$): $\cos \alpha < 0$ (x < 0), $\sin \alpha > 0$ (y > 0). Знаки различны.
• III четверть ($\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$): $\cos \alpha < 0$ (x < 0), $\sin \alpha < 0$ (y < 0). Знаки совпадают.
• IV четверть ($\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$): $\cos \alpha > 0$ (x > 0), $\sin \alpha < 0$ (y < 0). Знаки различны.

На границах четвертей (при углах $0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$) одна из функций равна нулю, поэтому её знак не является ни положительным, ни отрицательным. Следовательно, эти граничные точки не входят в искомые множества, так как для них условие о совпадении или различии знаков (положительный/отрицательный) не выполняется.

совпадают

Знаки синуса и косинуса совпадают, если обе функции одновременно положительны или одновременно отрицательны. Это условие эквивалентно неравенству $\sin \alpha \cdot \cos \alpha > 0$.

Рассмотрим два случая:

1. Обе функции положительны: $\sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha > 0$. Это соответствует углам в первой координатной четверти. В рамках заданного промежутка от 0 до $2\pi$, это интервал $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

2. Обе функции отрицательны: $\sin \alpha < 0$ и $\cos \alpha < 0$. Это соответствует углам в третьей координатной четверти. В рамках заданного промежутка, это интервал $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$.

Следовательно, множество значений $\alpha$, для которых знаки синуса и косинуса совпадают, является объединением этих двух интервалов.

Ответ: $\alpha \in (0, \frac{\pi}{2}) \cup (\pi, \frac{3\pi}{2})$.

различны

Знаки синуса и косинуса различны, если одна из функций положительна, а другая отрицательна. Это условие эквивалентно неравенству $\sin \alpha \cdot \cos \alpha < 0$.

Рассмотрим два случая:

1. Синус положителен, а косинус отрицателен: $\sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha < 0$. Это соответствует углам во второй координатной четверти. В рамках заданного промежутка от 0 до $2\pi$, это интервал $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

2. Синус отрицателен, а косинус положителен: $\sin \alpha < 0$ и $\cos \alpha > 0$. Это соответствует углам в четвертой координатной четверти. В рамках заданного промежутка, это интервал $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$.

Следовательно, множество значений $\alpha$, для которых знаки синуса и косинуса различны, является объединением этих двух интервалов.

Ответ: $\alpha \in (\frac{\pi}{2}, \pi) \cup (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$.

983. Определить знак числа:

1) $\sin\frac{2\pi}{3}\sin\frac{3\pi}{4}$;

2) $\cos\frac{2\pi}{3}\cos\frac{\pi}{6}$;

3) $\operatorname{tg}\frac{5\pi}{4}+\sin\frac{\pi}{4}$.

1) $\sin\frac{2\pi}{3}\sin\frac{3\pi}{4}$

Для определения знака произведения необходимо определить знаки каждого из множителей.
Первый множитель: $\sin\frac{2\pi}{3}$. Угол $\frac{2\pi}{3}$ радиан ($120^\circ$) находится во второй координатной четверти, так как выполняется неравенство $\frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3} < \pi$. Значение синуса во второй четверти положительно, следовательно, $\sin\frac{2\pi}{3} > 0$.
Второй множитель: $\sin\frac{3\pi}{4}$. Угол $\frac{3\pi}{4}$ радиан ($135^\circ$) также находится во второй координатной четверти, так как $\frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{4} < \pi$. Значение синуса во второй четверти также положительно, следовательно, $\sin\frac{3\pi}{4} > 0$.
Произведение двух положительных чисел является положительным числом: $(+) \cdot (+) = (+)$.
Таким образом, выражение $\sin\frac{2\pi}{3}\sin\frac{3\pi}{4}$ положительно.
Ответ: знак плюс (+).

2) $\cos\frac{2\pi}{3}\cos\frac{\pi}{6}$

Определим знак каждого множителя в данном выражении.
Первый множитель: $\cos\frac{2\pi}{3}$. Угол $\frac{2\pi}{3}$ радиан ($120^\circ$) находится во второй координатной четверти. Значение косинуса во второй четверти отрицательно, поэтому $\cos\frac{2\pi}{3} < 0$.
Второй множитель: $\cos\frac{\pi}{6}$. Угол $\frac{\pi}{6}$ радиан ($30^\circ$) находится в первой координатной четверти ($0 < \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2}$). Значение косинуса в первой четверти положительно, поэтому $\cos\frac{\pi}{6} > 0$.
Произведение отрицательного и положительного чисел является отрицательным числом: $(-) \cdot (+) = (-)$.
Следовательно, выражение $\cos\frac{2\pi}{3}\cos\frac{\pi}{6}$ отрицательно.
Ответ: знак минус (-).

3) $\tg\frac{5\pi}{4} + \sin\frac{\pi}{4}$

Для определения знака суммы необходимо определить знаки каждого из слагаемых.
Первое слагаемое: $\tg\frac{5\pi}{4}$. Угол $\frac{5\pi}{4}$ радиан ($225^\circ$) находится в третьей координатной четверти ($\pi < \frac{5\pi}{4} < \frac{3\pi}{2}$). Значение тангенса в третьей четверти положительно, значит, $\tg\frac{5\pi}{4} > 0$. Для проверки найдём точное значение: $\tg\frac{5\pi}{4} = \tg(\pi + \frac{\pi}{4}) = \tg\frac{\pi}{4} = 1$.
Второе слагаемое: $\sin\frac{\pi}{4}$. Угол $\frac{\pi}{4}$ радиан ($45^\circ$) находится в первой координатной четверти. Значение синуса в первой четверти положительно, значит, $\sin\frac{\pi}{4} > 0$. Точное значение: $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Сумма двух положительных чисел ($1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$) является положительным числом.
Таким образом, выражение $\tg\frac{5\pi}{4} + \sin\frac{\pi}{4}$ положительно.
Ответ: знак плюс (+).

984. Сравнить числа:

1) $ \sin 0.7 $ и $ \sin 4 $;

2) $ \cos 1.3 $ и $ \cos 2.3 $.

1) Сравнить $ \sin 0,7 $ и $ \sin 4 $.

Для сравнения этих чисел определим, в каких координатных четвертях находятся углы 0,7 радиана и 4 радиана. Для этого будем использовать приближенное значение числа $\pi \approx 3,14$.

Угол 0,7 радиана. Мы знаем, что $\pi/2 \approx 3,14 / 2 = 1,57$. Так как $0 < 0,7 < 1,57$, то есть $0 < 0,7 < \pi/2$, угол 0,7 радиана находится в I координатной четверти. В I четверти синус положителен, значит, $ \sin 0,7 > 0 $.

Угол 4 радиана. Мы знаем, что $\pi \approx 3,14$ и $3\pi/2 \approx 3 \cdot 3,14 / 2 = 4,71$. Так как $3,14 < 4 < 4,71$, то есть $\pi < 4 < 3\pi/2$, угол 4 радиана находится в III координатной четверти. В III четверти синус отрицателен, значит, $ \sin 4 < 0 $.

Поскольку $ \sin 0,7 $ — положительное число, а $ \sin 4 $ — отрицательное, то очевидно, что $ \sin 0,7 > \sin 4 $.

Ответ: $ \sin 0,7 > \sin 4 $.

2) Сравнить $ \cos 1,3 $ и $ \cos 2,3 $.

Аналогично предыдущему пункту, определим координатные четверти для углов 1,3 радиана и 2,3 радиана. Используем те же приближения для $\pi$.

Угол 1,3 радиана. Так как $0 < 1,3 < \pi/2 \approx 1,57$, этот угол находится в I координатной четверти. В I четверти косинус положителен, следовательно, $ \cos 1,3 > 0 $.

Угол 2,3 радиана. Так как $\pi/2 \approx 1,57 < 2,3 < \pi \approx 3,14$, этот угол находится во II координатной четверти. Во II четверти косинус отрицателен, следовательно, $ \cos 2,3 < 0 $.

Сравнивая положительное число $ \cos 1,3 $ с отрицательным числом $ \cos 2,3 $, получаем $ \cos 1,3 > \cos 2,3 $.

Дополнительное рассуждение: Также можно рассмотреть функцию $y = \cos x$. На промежутке $[0, \pi]$ эта функция является убывающей. Оба угла, 1,3 и 2,3, принадлежат этому промежутку ($0 < 1,3 < \pi$ и $0 < 2,3 < \pi$). Поскольку $1,3 < 2,3$, из свойства убывающей функции следует, что $\cos 1,3 > \cos 2,3$.

Ответ: $ \cos 1,3 > \cos 2,3 $.

985. Решить уравнение:

1) $sin(5\pi + x) = 1;$

2) $cos(x + 3\pi) = 0;$

3) $cos(\frac{5}{2}\pi + x) = -1;$

4) $sin(\frac{9}{2}\pi + x) = -1.$

1) Решим уравнение $sin(5\pi + x) = 1$.
Для упрощения аргумента воспользуемся периодичностью функции синус. Период синуса равен $2\pi$. Представим $5\pi$ как $4\pi + \pi$.
$sin(5\pi + x) = sin(4\pi + \pi + x) = sin(\pi + x)$.
Далее применим формулу приведения: $sin(\pi + x) = -sin(x)$.
Таким образом, исходное уравнение преобразуется к виду: $-sin(x) = 1$, что эквивалентно $sin(x) = -1$.
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Его решением является серия корней:
$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in Z$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in Z$.

2) Решим уравнение $cos(x + 3\pi) = 0$.
Воспользуемся периодичностью функции косинус. Период косинуса равен $2\pi$. Представим $3\pi$ как $2\pi + \pi$.
$cos(x + 3\pi) = cos(x + \pi + 2\pi) = cos(x + \pi)$.
По формуле приведения: $cos(x + \pi) = -cos(x)$.
Уравнение принимает вид: $-cos(x) = 0$, то есть $cos(x) = 0$.
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Его решением является серия корней:
$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in Z$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$.

3) Решим уравнение $cos(\frac{5}{2}\pi + x) = -1$.
Преобразуем аргумент, выделив целое число периодов ($2\pi$):
$\frac{5\pi}{2} = \frac{4\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$.
$cos(\frac{5}{2}\pi + x) = cos(2\pi + \frac{\pi}{2} + x) = cos(\frac{\pi}{2} + x)$.
Применим формулу приведения: $cos(\frac{\pi}{2} + x) = -sin(x)$.
Уравнение сводится к виду: $-sin(x) = -1$, или $sin(x) = 1$.
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Его решением является серия корней:
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in Z$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in Z$.

4) Решим уравнение $sin(\frac{9}{2}\pi + x) = -1$.
Преобразуем аргумент, выделив целое число периодов ($2\pi$):
$\frac{9\pi}{2} = \frac{8\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 4\pi + \frac{\pi}{2} = 2 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{2}$.
$sin(\frac{9}{2}\pi + x) = sin(4\pi + \frac{\pi}{2} + x) = sin(\frac{\pi}{2} + x)$.
Применим формулу приведения: $sin(\frac{\pi}{2} + x) = cos(x)$.
Уравнение сводится к виду: $cos(x) = -1$.
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Его решением является серия корней:
$x = \pi + 2\pi k$, где $k \in Z$.
Ответ: $x = \pi + 2\pi k, k \in Z$.

986. Выяснить, в какой четверти находится точка, соответствующая числу $\alpha$, если:

1) $\sin \alpha + \cos \alpha = -1,4$;

2) $\sin \alpha - \cos \alpha = 1,4$.

1) Дано уравнение $\sin\alpha + \cos\alpha = -1,4$.

Чтобы определить знаки $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$, которые укажут на четверть, возведем обе части уравнения в квадрат: $(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = (-1,4)^2$

$\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = 1,96$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, мы можем упростить выражение: $1 + 2\sin\alpha\cos\alpha = 1,96$

Теперь найдем произведение $\sin\alpha\cos\alpha$: $2\sin\alpha\cos\alpha = 1,96 - 1$ $2\sin\alpha\cos\alpha = 0,96$ $\sin\alpha\cos\alpha = 0,48$

Поскольку произведение $\sin\alpha\cos\alpha$ положительно ($\sin\alpha\cos\alpha > 0$), это означает, что $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ имеют одинаковые знаки. Такое возможно в I или III координатных четвертях.

Чтобы определить, какая из этих двух четвертей является правильной, вернемся к исходному уравнению: $\sin\alpha + \cos\alpha = -1,4$.

• В I четверти $\sin\alpha > 0$ и $\cos\alpha > 0$, поэтому их сумма должна быть положительной. Это противоречит условию, так как $-1,4 < 0$.
• В III четверти $\sin\alpha < 0$ и $\cos\alpha < 0$, поэтому их сумма будет отрицательной. Это соответствует условию.

Следовательно, точка, соответствующая числу $\alpha$, находится в III четверти.

Ответ: III четверть.

2) Дано уравнение $\sin\alpha - \cos\alpha = 1,4$.

Так же, как и в первом случае, возведем обе части уравнения в квадрат: $(\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = (1,4)^2$

$\sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = 1,96$

Применяя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем: $1 - 2\sin\alpha\cos\alpha = 1,96$

Теперь найдем произведение $\sin\alpha\cos\alpha$: $-2\sin\alpha\cos\alpha = 1,96 - 1$ $-2\sin\alpha\cos\alpha = 0,96$ $\sin\alpha\cos\alpha = -0,48$

Поскольку произведение $\sin\alpha\cos\alpha$ отрицательно ($\sin\alpha\cos\alpha < 0$), это означает, что $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ имеют разные знаки. Такое возможно во II или IV координатных четвертях.

Для выбора правильной четверти обратимся к исходному уравнению: $\sin\alpha - \cos\alpha = 1,4$.

• Во II четверти $\sin\alpha > 0$ и $\cos\alpha < 0$. Разность $\sin\alpha - \cos\alpha$ будет равна (положительное число) - (отрицательное число), что всегда дает положительный результат. Это соответствует условию, так как $1,4 > 0$.
• В IV четверти $\sin\alpha < 0$ и $\cos\alpha > 0$. Разность $\sin\alpha - \cos\alpha$ будет равна (отрицательное число) - (положительное число), что всегда дает отрицательный результат. Это противоречит условию.

Следовательно, точка, соответствующая числу $\alpha$, находится во II четверти.

Ответ: II четверть.

987. Может ли $\sin \alpha$ ($\cos \alpha$), где $\alpha$ — угол некоторого треугольника, быть отрицательным? Если может, то в каком случае?

Да, данное выражение может быть отрицательным. Проанализируем условия, при которых это возможно.

Поскольку $\alpha$ — это угол некоторого треугольника, его значение находится в интервале $0 < \alpha < \pi$ (в радианах), что соответствует $0° < \alpha < 180°$.

Значение выражения $\sin(\cos\alpha)$ является отрицательным, если его аргумент, то есть $\cos\alpha$, находится в области, где функция синус принимает отрицательные значения. Функция $\sin(x)$ отрицательна, когда её аргумент $x$ (в радианах) лежит, например, в интервале $(-\pi, 0)$.

Теперь определим, какие значения может принимать аргумент $\cos\alpha$. Так как $0 < \alpha < \pi$, значения косинуса лежат в интервале $(-1, 1)$.

Чтобы $\sin(\cos\alpha)$ было отрицательным, значение $\cos\alpha$ должно находиться в интервале отрицательных значений синуса. Учитывая, что $-1 < \cos\alpha < 1$ и $\pi \approx 3.14$, нам необходимо выполнение условия $-1 < \cos\alpha < 0$.

Неравенство $-1 < \cos\alpha < 0$ выполняется для углов $\alpha$, которые больше $\frac{\pi}{2}$ и меньше $\pi$. Такой угол называется тупым.

Ответ: Да, выражение $\sin(\cos\alpha)$ может быть отрицательным. Это происходит в том случае, если угол $\alpha$ является тупым, то есть удовлетворяет неравенству $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ (или $90° < \alpha < 180°$).

988. Может ли $\sin\frac{\alpha}{2}\left(\cos\frac{\alpha}{2}\right)$, где $\alpha$ — угол некоторого треугольника, быть отрицательным?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, проанализируем выражение $ \sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} $ и ограничения, накладываемые на угол $ \alpha $. По условию, $ \alpha $ — это угол некоторого треугольника.

Рассмотрим решение двумя способами.

Способ 1: Анализ знаков сомножителей

Любой угол $ \alpha $ в треугольнике строго больше $ 0 $ и строго меньше $ 180^\circ $. Таким образом, для угла $ \alpha $ справедливо неравенство: $ 0 < \alpha < \pi $ (в радианах).

Разделим это неравенство на 2, чтобы найти диапазон значений для угла $ \frac{\alpha}{2} $:

$ \frac{0}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2} \implies 0 < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2} $

Это означает, что угол $ \frac{\alpha}{2} $ всегда находится в первой координатной четверти. В первой четверти и синус, и косинус принимают положительные значения. Следовательно, $ \sin\frac{\alpha}{2} > 0 $ и $ \cos\frac{\alpha}{2} > 0 $.

Произведение двух положительных чисел всегда является положительным числом, поэтому $ \sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} > 0 $.

Способ 2: Использование формулы двойного угла

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x $. Отсюда можно выразить произведение $ \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x) $.

Применим эту формулу к нашему выражению, взяв $ x = \frac{\alpha}{2} $:

$ \sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1}{2}\sin\alpha $

Как мы уже установили, угол треугольника $ \alpha $ находится в интервале $ 0 < \alpha < \pi $. Для всех углов в этом интервале (первая и вторая координатные четверти) синус принимает положительные значения: $ \sin\alpha > 0 $.

Поскольку $ \sin\alpha > 0 $, то и $ \frac{1}{2}\sin\alpha > 0 $.

Оба способа приводят к одному и тому же выводу: выражение $ \sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} $ всегда положительно для любого угла $ \alpha $ треугольника, а значит, не может быть отрицательным.

Ответ: нет, не может.

989. Сравнить с нулем:

1) $ \sin 5 \cdot \text{tg} 5 \cdot \cos 5 $;

2) $ \sin 3 \cdot \text{tg} 4 \cdot \cos 2 $.

1) Чтобы сравнить выражение $ \sin 5 \cdot \tg 5 \cdot \cos 5 $ с нулем, преобразуем его, используя основное тригонометрическое тождество $ \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $.

Подставим это определение в исходное выражение:

$ \sin 5 \cdot \frac{\sin 5}{\cos 5} \cdot \cos 5 $

Данное преобразование возможно, если $ \cos 5 \neq 0 $. Косинус равен нулю при углах $ \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k $ — целое число. Поскольку 5 не является числом такого вида ( $ 5/\pi \approx 1.59 $, что не равно $ 0.5 + k $), то $ \cos 5 \neq 0 $. Следовательно, мы можем сократить $ \cos 5 $ в числителе и знаменателе. Выражение упрощается до:

$ \sin^2 5 $

Квадрат любого действительного числа является неотрицательным. Чтобы выражение было равно нулю, необходимо, чтобы $ \sin 5 = 0 $. Синус равен нулю при углах $ \pi k $, где $ k $ — целое число. Так как $ 5/\pi \approx 1.59 $ не является целым числом, то $ \sin 5 \neq 0 $.

Поскольку $ \sin 5 \neq 0 $, то его квадрат $ \sin^2 5 $ будет строго положительным числом.

Ответ: выражение больше нуля.

2) Чтобы сравнить выражение $ \sin 3 \cdot \tg 4 \cdot \cos 2 $ с нулем, определим знак каждого из множителей. Для этого выясним, в какой координатной четверти находится каждый из углов (углы заданы в радианах).

Используем приближенные значения для $ \pi $: $ \pi \approx 3.14 $, $ \frac{\pi}{2} \approx 1.57 $, $ \frac{3\pi}{2} \approx 4.71 $.

• Знак $ \sin 3 $: Так как $ 1.57 < 3 < 3.14 $, то есть $ \frac{\pi}{2} < 3 < \pi $, угол в 3 радиана находится во II координатной четверти. Синус во II четверти положителен, следовательно, $ \sin 3 > 0 $.

• Знак $ \tg 4 $: Так как $ 3.14 < 4 < 4.71 $, то есть $ \pi < 4 < \frac{3\pi}{2} $, угол в 4 радиана находится в III координатной четверти. Тангенс в III четверти положителен, следовательно, $ \tg 4 > 0 $.

• Знак $ \cos 2 $: Так как $ 1.57 < 2 < 3.14 $, то есть $ \frac{\pi}{2} < 2 < \pi $, угол в 2 радиана находится во II координатной четверти. Косинус во II четверти отрицателен, следовательно, $ \cos 2 < 0 $.

Теперь определим знак всего произведения, перемножив знаки множителей:

$ (+) \cdot (+) \cdot (-) = (-) $

Произведение двух положительных и одного отрицательного числа отрицательно.

Ответ: выражение меньше нуля.