Номер 1237, страница 352 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1237. 1) $2\sin 2x = 3\cos 2x$;

2) $4\sin 3x + 5\cos 3x = 0$;

3) $5\sin x + \cos x = 0$;

4) $4\sin x + 3\cos x = 0$.

1) $2\sin2x = 3\cos2x$

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Перенесем все члены в левую часть:

$2\sin2x - 3\cos2x = 0$

Заметим, что $\cos2x \neq 0$, так как если бы $\cos2x = 0$, то из уравнения следовало бы, что и $\sin2x = 0$, что невозможно, поскольку основное тригонометрическое тождество $\sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1$ не выполнялось бы ($0^2 + 0^2 \neq 1$).

Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $\cos2x$:

$\frac{2\sin2x}{\cos2x} - \frac{3\cos2x}{\cos2x} = 0$

Используя определение тангенса $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, получаем:

$2\tan2x - 3 = 0$

$2\tan2x = 3$

$\tan2x = \frac{3}{2}$

Теперь решим это простейшее тригонометрическое уравнение:

$2x = \arctan\left(\frac{3}{2}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

И, наконец, выразим $x$:

$x = \frac{1}{2}\arctan\left(\frac{3}{2}\right) + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{1}{2}\arctan\left(\frac{3}{2}\right) + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

2) $4\sin3x + 5\cos3x = 0$

Это также однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Убедимся, что $\cos3x \neq 0$. Если предположить, что $\cos3x = 0$, то из уравнения следует $4\sin3x + 5 \cdot 0 = 0$, то есть $\sin3x = 0$. Это противоречит основному тригонометрическому тождеству.

Разделим обе части уравнения на $\cos3x$:

$\frac{4\sin3x}{\cos3x} + \frac{5\cos3x}{\cos3x} = 0$

$4\tan3x + 5 = 0$

$4\tan3x = -5$

$\tan3x = -\frac{5}{4}$

Найдем $3x$:

$3x = \arctan\left(-\frac{5}{4}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Используя свойство нечетности арктангенса, $\arctan(-a) = -\arctan(a)$, получим:

$3x = -\arctan\left(\frac{5}{4}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделим на 3, чтобы найти $x$:

$x = -\frac{1}{3}\arctan\left(\frac{5}{4}\right) + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{1}{3}\arctan\left(\frac{5}{4}\right) + \frac{\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.

3) $5\sin x + \cos x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Так как $\cos x \neq 0$ (иначе из уравнения следовало бы, что и $\sin x = 0$, что невозможно), разделим обе части на $\cos x$:

$\frac{5\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} = 0$

$5\tan x + 1 = 0$

$5\tan x = -1$

$\tan x = -\frac{1}{5}$

Найдем $x$:

$x = \arctan\left(-\frac{1}{5}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = -\arctan\left(\frac{1}{5}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\arctan\left(\frac{1}{5}\right) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

4) $4\sin x + 3\cos x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Так как $\cos x \neq 0$ (иначе и $\sin x = 0$, что невозможно), разделим обе части на $\cos x$:

$\frac{4\sin x}{\cos x} + \frac{3\cos x}{\cos x} = 0$

$4\tan x + 3 = 0$

$4\tan x = -3$

$\tan x = -\frac{3}{4}$

Найдем $x$:

$x = \arctan\left(-\frac{3}{4}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = -\arctan\left(\frac{3}{4}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\arctan\left(\frac{3}{4}\right) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.