Номер 1245, страница 353 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1245. 1) $\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) + \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 1 + \cos(2x);$

2) $\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \sin(2x).$

1)

Решим уравнение $ \sin(x + \frac{\pi}{6}) + \cos(x + \frac{\pi}{3}) = 1 + \cos(2x) $.

Сначала преобразуем левую часть уравнения, используя формулы сложения для синуса и косинуса:

$ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $

$ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $

Применим эти формулы к слагаемым в левой части:

$ \sin(x + \frac{\pi}{6}) = \sin x \cos\frac{\pi}{6} + \cos x \sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x $.

$ \cos(x + \frac{\pi}{3}) = \cos x \cos\frac{\pi}{3} - \sin x \sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x $.

Теперь сложим полученные выражения:

$ \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x\right) + \left(\frac{1}{2}\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right) = \frac{1}{2}\cos x + \frac{1}{2}\cos x = \cos x $.

Далее преобразуем правую часть уравнения, используя формулу косинуса двойного угла $ \cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 $:

$ 1 + \cos(2x) = 1 + (2\cos^2 x - 1) = 2\cos^2 x $.

Таким образом, исходное уравнение сводится к следующему:

$ \cos x = 2\cos^2 x $.

Перенесем все члены в одну сторону и решим уравнение:

$ 2\cos^2 x - \cos x = 0 $

Вынесем общий множитель $ \cos x $ за скобки:

$ \cos x (2\cos x - 1) = 0 $.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два случая:

а) $ \cos x = 0 $. Решениями этого уравнения являются $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

б) $ 2\cos x - 1 = 0 $, что равносильно $ \cos x = \frac{1}{2} $. Решениями этого уравнения являются $ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{2} + \pi k; \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n $, где $ k, n \in \mathbb{Z} $.

2)

Решим уравнение $ \sin(x - \frac{\pi}{4}) + \cos(x - \frac{\pi}{4}) = \sin(2x) $.

Преобразуем левую часть уравнения, используя метод введения вспомогательного угла. Выражение вида $ a\sin\theta + b\cos\theta $ можно представить как $ R\sin(\theta + \alpha) $, где $ R = \sqrt{a^2+b^2} $. В нашем случае $ a=1 $, $ b=1 $ и $ \theta = x - \frac{\pi}{4} $.

Вычисляем $ R = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2} $. Тогда левая часть принимает вид:

$ \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) $.

Так как $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} $ и $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} $, выражение можно записать как:

$ \sqrt{2}\left(\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\cos\frac{\pi}{4} + \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\sin\frac{\pi}{4}\right) $.

Применяя формулу синуса суммы $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $, получаем:

$ \sqrt{2}\sin\left(\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\sin x $.

Правую часть уравнения преобразуем по формуле синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x $.

В результате уравнение принимает вид:

$ \sqrt{2}\sin x = 2\sin x \cos x $.

Перенесем все члены в одну сторону:

$ 2\sin x \cos x - \sqrt{2}\sin x = 0 $.

Вынесем общий множитель $ \sin x $ за скобки:

$ \sin x(2\cos x - \sqrt{2}) = 0 $.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два случая:

а) $ \sin x = 0 $. Решениями этого уравнения являются $ x = \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

б) $ 2\cos x - \sqrt{2} = 0 $, что равносильно $ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Решениями этого уравнения являются $ x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ \pi k; \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n $, где $ k, n \in \mathbb{Z} $.