Номер 1247, страница 353 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1247. 1) $ \sin^2 x + \sin^2 2x = 1; $

2) $ \sin^2 x + \cos^2 2x = 1; $

3) $ \sin 4x = 6\cos^2 2x - 4; $

4) $ 2\cos^2 3x + \sin 5x = 1. $

1) Исходное уравнение: $sin^2x + sin^22x = 1$.
Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2x + cos^2x = 1$. Заменим 1 в правой части уравнения:
$sin^2x + sin^22x = sin^2x + cos^2x$
Вычтем $sin^2x$ из обеих частей:
$sin^22x = cos^2x$
Перенесем все в левую часть:
$sin^22x - cos^2x = 0$
Применим формулу синуса двойного угла $sin2x = 2sinxcosx$:
$(2sinxcosx)^2 - cos^2x = 0$
$4sin^2xcos^2x - cos^2x = 0$
Вынесем $cos^2x$ за скобки:
$cos^2x(4sin^2x - 1) = 0$
Это уравнение распадается на два:
1. $cos^2x = 0 \implies cosx = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2. $4sin^2x - 1 = 0 \implies sin^2x = \frac{1}{4} \implies sinx = \pm\frac{1}{2}$.
Отсюда $x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $sin^2x + cos^22x = 1$.
Заменим 1 на $sin^2x + cos^2x$:
$sin^2x + cos^22x = sin^2x + cos^2x$
$cos^22x = cos^2x$
Воспользуемся формулой понижения степени $cos^2\alpha = \frac{1+cos2\alpha}{2}$:
$\frac{1+cos(2 \cdot 2x)}{2} = \frac{1+cos(2x)}{2}$
$\frac{1+cos4x}{2} = \frac{1+cos2x}{2}$
$1+cos4x = 1+cos2x$
$cos4x = cos2x$
$cos4x - cos2x = 0$
Применим формулу разности косинусов $cos\alpha - cos\beta = -2sin\frac{\alpha+\beta}{2}sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:
$-2sin\frac{4x+2x}{2}sin\frac{4x-2x}{2} = 0$
$-2sin(3x)sin(x) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
1. $sinx = 0 \implies x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2. $sin3x = 0 \implies 3x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Заметим, что первая серия решений ($x = \pi k$) является подмножеством второй серии ($x = \frac{\pi n}{3}$ при $n=3k$). Поэтому достаточно указать только вторую серию.
Ответ: $x = \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3) Исходное уравнение: $sin4x = 6cos^22x - 4$.
Используем основное тригонометрическое тождество, представив $4$ как $4 \cdot 1 = 4(sin^22x + cos^22x)$:
$sin4x = 6cos^22x - 4(sin^22x + cos^22x)$
$sin4x = 6cos^22x - 4sin^22x - 4cos^22x$
$sin4x = 2cos^22x - 4sin^22x$
Применим формулу синуса двойного угла $sin4x = 2sin2xcos2x$:
$2sin2xcos2x = 2cos^22x - 4sin^22x$
Разделим обе части на 2:
$sin2xcos2x = cos^22x - 2sin^22x$
Перенесем все члены в левую часть:
$2sin^22x + sin2xcos2x - cos^22x = 0$
Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Проверим, является ли $cos2x=0$ решением. Если $cos2x=0$, то $sin^22x=1$, и уравнение принимает вид $2(1) + 0 - 0 = 2 \neq 0$. Значит, $cos2x \neq 0$, и мы можем разделить обе части на $cos^22x$:
$2\frac{sin^22x}{cos^22x} + \frac{sin2xcos2x}{cos^22x} - \frac{cos^22x}{cos^22x} = 0$
$2tan^22x + tan2x - 1 = 0$
Сделаем замену $t = tan2x$:
$2t^2 + t - 1 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9$.
$t_1 = \frac{-1+3}{4} = \frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{-1-3}{4} = -1$
Вернемся к замене:
1. $tan2x = \frac{1}{2} \implies 2x = arctan(\frac{1}{2}) + \pi k \implies x = \frac{1}{2}arctan(\frac{1}{2}) + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2. $tan2x = -1 \implies 2x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \implies x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{1}{2}arctan(\frac{1}{2}) + \frac{\pi k}{2}, \quad x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

4) Исходное уравнение: $2cos^23x + sin5x = 1$.
Применим формулу понижения степени $cos^2\alpha = \frac{1+cos2\alpha}{2}$ для $2cos^23x$:
$2 \cdot \frac{1+cos(2 \cdot 3x)}{2} + sin5x = 1$
$1 + cos6x + sin5x = 1$
$cos6x + sin5x = 0$
$cos6x = -sin5x$
Используем формулу приведения $sin(-\alpha) = -sin\alpha$:
$cos6x = sin(-5x)$
Теперь используем еще одну формулу приведения $cos\alpha = sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)$:
$sin(\frac{\pi}{2} - 6x) = sin(-5x)$
Равенство синусов $sinA = sinB$ выполняется в двух случаях: $A=B+2\pi k$ или $A=\pi-B+2\pi k$.
1. $\frac{\pi}{2} - 6x = -5x + 2\pi k$
$-x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$
$x = \frac{\pi}{2} - 2\pi k$. Так как $k$ - любое целое, можно записать $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ (заменив $-k$ на $n$), где $n \in \mathbb{Z}$.
2. $\frac{\pi}{2} - 6x = \pi - (-5x) + 2\pi k$
$\frac{\pi}{2} - 6x = \pi + 5x + 2\pi k$
$-11x = \pi - \frac{\pi}{2} + 2\pi k$
$-11x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$
$x = -\frac{\pi}{22} - \frac{2\pi k}{11}$. Так как $k$ - любое целое, можно записать $x = -\frac{\pi}{22} + \frac{2\pi m}{11}$ (заменив $-k$ на $m$), где $m \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad x = -\frac{\pi}{22} + \frac{2\pi m}{11}$, где $n, m \in \mathbb{Z}$.