Номер 1255, страница 353 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1251. 1) $2\cos3x \sin x + \cos x,$

2) $\cos3x - \cos2x \sin x.$

1255.

1) $\sin2x + \cos2x = 2\text{tg}x + 1;$

2) $\sin2x - \cos2x = \text{tg}x.$

1) $sin2x + cos2x = 2tgx + 1$

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется наличием тангенса в правой части. Знаменатель тангенса, $cosx$, не должен быть равен нулю.
$cosx \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in Z$.

Для решения этого уравнения удобно выразить все тригонометрические функции через тангенс угла $x$. Сделаем замену $t = tgx$.
Используем известные формулы выражения синуса и косинуса двойного угла через тангенс одинарного угла:
$sin2x = \frac{2tgx}{1+tg^2x} = \frac{2t}{1+t^2}$
$cos2x = \frac{1-tg^2x}{1+tg^2x} = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$\frac{2t}{1+t^2} + \frac{1-t^2}{1+t^2} = 2t + 1$

Сложим дроби в левой части уравнения, так как у них одинаковый знаменатель:
$\frac{2t + 1 - t^2}{1+t^2} = 2t + 1$

Перенесем все слагаемые в одну сторону и приведем к общему знаменателю:
$\frac{2t + 1 - t^2}{1+t^2} - (2t + 1) = 0$
$\frac{(2t + 1 - t^2) - (2t + 1)(1+t^2)}{1+t^2} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Знаменатель $1+t^2$ всегда больше нуля при любом действительном значении $t$. Поэтому приравниваем числитель к нулю:
$(2t + 1 - t^2) - (2t + 2t^3 + 1 + t^2) = 0$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$2t + 1 - t^2 - 2t - 2t^3 - 1 - t^2 = 0$
$-2t^3 - 2t^2 = 0$
Вынесем общий множитель $-2t^2$ за скобки:
$-2t^2(t + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два уравнения:
1. $t^2 = 0 \implies t = 0$
2. $t + 1 = 0 \implies t = -1$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:
1. $tgx = 0 \implies x = \pi n$, где $n \in Z$.
2. $tgx = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi m$, где $m \in Z$.

Полученные серии корней удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$).

Ответ: $\pi n, n \in Z$; $-\frac{\pi}{4} + \pi m, m \in Z$.

2) $sin2x - cos2x = tgx$

ОДЗ уравнения: $cosx \neq 0$, что означает $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in Z$.

Как и в предыдущем задании, используем замену $t = tgx$ и соответствующие формулы для $sin2x$ и $cos2x$:
$sin2x = \frac{2t}{1+t^2}$
$cos2x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

Подставим выражения в уравнение:
$\frac{2t}{1+t^2} - \frac{1-t^2}{1+t^2} = t$

Упростим левую часть:
$\frac{2t - (1-t^2)}{1+t^2} = t$
$\frac{2t - 1 + t^2}{1+t^2} = t$

Домножим обе части уравнения на знаменатель $1+t^2$, который не равен нулю:
$t^2+2t-1 = t(1+t^2)$
$t^2+2t-1 = t + t^3$

Перенесем все слагаемые в правую часть, чтобы получить кубическое уравнение:
$t^3 - t^2 - t + 1 = 0$

Разложим левую часть на множители методом группировки:
$(t^3 - t^2) - (t - 1) = 0$
$t^2(t - 1) - 1(t - 1) = 0$
$(t^2 - 1)(t - 1) = 0$
Разложим $(t^2-1)$ по формуле разности квадратов:
$(t - 1)(t + 1)(t - 1) = 0$
$(t - 1)^2(t + 1) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $t$:
1. $(t-1)^2 = 0 \implies t-1 = 0 \implies t = 1$
2. $t+1 = 0 \implies t = -1$

Выполним обратную замену $t = tgx$:
1. $tgx = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in Z$.
2. $tgx = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi m$, где $m \in Z$.

Оба семейства решений удовлетворяют ОДЗ. Эти два семейства можно объединить в одну более компактную формулу: $x = \pm\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in Z$ или $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in Z$.

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in Z$.