Номер 1262, страница 354 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1262.

1) $ \begin{cases} \frac{\sin x}{\sin y} = \frac{5}{3}, \\ \frac{\cos x}{\cos y} = \frac{1}{3}; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} \sin x \cos y = \frac{1}{2}, \\ \cos x \sin y = -\frac{1}{2}. \end{cases} $

1)

Дана система тригонометрических уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{\sin x}{\sin y} = \frac{5}{3} \\ \frac{\cos x}{\cos y} = \frac{1}{3} \end{cases} $$

Из уравнений системы выразим $\sin x$ и $\cos x$ через функции от $y$:

$$ \sin x = \frac{5}{3} \sin y $$ $$ \cos x = \frac{1}{3} \cos y $$

Подставим эти выражения в основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$$ \left(\frac{5}{3} \sin y\right)^2 + \left(\frac{1}{3} \cos y\right)^2 = 1 $$ $$ \frac{25}{9} \sin^2 y + \frac{1}{9} \cos^2 y = 1 $$

Умножим обе части уравнения на 9, чтобы избавиться от знаменателей:

$$ 25 \sin^2 y + \cos^2 y = 9 $$

Используем тождество $\cos^2 y = 1 - \sin^2 y$ и подставим его в полученное уравнение:

$$ 25 \sin^2 y + (1 - \sin^2 y) = 9 $$ $$ 24 \sin^2 y + 1 = 9 $$ $$ 24 \sin^2 y = 8 $$ $$ \sin^2 y = \frac{8}{24} = \frac{1}{3} $$

Отсюда находим $\cos^2 y$:

$$ \cos^2 y = 1 - \sin^2 y = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} $$

Теперь мы можем найти значения для синусов и косинусов:

$$ \sin y = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} $$ $$ \cos y = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{3} $$

Соответствующие значения для $\sin x$ и $\cos x$:

$$ \sin x = \frac{5}{3} \sin y = \frac{5}{3} \left(\pm \frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \pm \frac{5\sqrt{3}}{9} $$ $$ \cos x = \frac{1}{3} \cos y = \frac{1}{3} \left(\pm \frac{\sqrt{6}}{3}\right) = \pm \frac{\sqrt{6}}{9} $$

Из исходных уравнений следует, что $\sin x$ и $\sin y$ имеют одинаковые знаки, и $\cos x$ и $\cos y$ также имеют одинаковые знаки. Это означает, что углы $x$ и $y$ должны находиться в одной и той же координатной четверти (с точностью до полного оборота $2\pi$).

Рассмотрим тангенсы углов $x$ и $y$:

$$ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{5}{3} \sin y}{\frac{1}{3} \cos y} = 5 \frac{\sin y}{\cos y} = 5 \tan y $$

Найдем $\tan^2 y$:

$$ \tan^2 y = \frac{\sin^2 y}{\cos^2 y} = \frac{1/3}{2/3} = \frac{1}{2} $$

Отсюда $\tan y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Тогда $\tan x = 5 \tan y = \pm \frac{5}{\sqrt{2}} = \pm \frac{5\sqrt{2}}{2}$.

Так как $x$ и $y$ находятся в одной четверти, знаки их тангенсов должны совпадать. Это условие выполняется. Таким образом, мы можем записать общее решение через арктангенс.

Первая серия решений (когда тангенсы положительны, что соответствует I и III четвертям):

$$ y = \arctan\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi n, \quad x = \arctan\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$

Вторая серия решений (когда тангенсы отрицательны, что соответствует II и IV четвертям):

$$ y = \arctan\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi n, \quad x = \arctan\left(-\frac{5\sqrt{2}}{2}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$

Эти две серии можно объединить в одну запись:

Ответ: $x = \pm \arctan\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right) + \pi n, y = \pm \arctan\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$, при этом знаки в выражениях для $x$ и $y$ выбираются одинаковыми.

2)

Дана система тригонометрических уравнений:

$$ \begin{cases} \sin x \cos y = \frac{1}{2} \\ \cos x \sin y = -\frac{1}{2} \end{cases} $$

Эта система напоминает формулы синуса суммы и разности двух углов:

$$ \sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $$ $$ \sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y $$

Сложим два уравнения системы:

$$ \sin x \cos y + \cos x \sin y = \frac{1}{2} + \left(-\frac{1}{2}\right) $$ $$ \sin(x+y) = 0 $$

Вычтем второе уравнение системы из первого:

$$ \sin x \cos y - \cos x \sin y = \frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right) $$ $$ \sin(x-y) = 1 $$

Теперь мы имеем более простую систему для выражений $(x+y)$ и $(x-y)$:

$$ \begin{cases} \sin(x+y) = 0 \\ \sin(x-y) = 1 \end{cases} $$

Решим каждое из этих уравнений. Из первого уравнения получаем:

$$ x+y = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$

Из второго уравнения получаем:

$$ x-y = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$

Мы получили систему линейных уравнений относительно $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} x+y = \pi k \\ x-y = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \end{cases} $$

Чтобы найти $x$, сложим эти два уравнения:

$$ 2x = \pi k + \frac{\pi}{2} + 2\pi n $$ $$ x = \frac{\pi k}{2} + \frac{\pi}{4} + \pi n $$

Чтобы найти $y$, вычтем второе уравнение из первого:

$$ 2y = \pi k - \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right) = \pi k - \frac{\pi}{2} - 2\pi n $$ $$ y = \frac{\pi k}{2} - \frac{\pi}{4} - \pi n $$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n + \frac{\pi k}{2}, y = -\frac{\pi}{4} - \pi n + \frac{\pi k}{2}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.