Номер 1268, страница 354 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1268. Найти все решения неравенства $\cos x - \sin x - \cos 2x > 0$ на интервале (0; 2π).

Исходное неравенство: $cos(x) - sin(x) - cos(2x) > 0$.

Для решения преобразуем неравенство. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)$. Эту формулу можно представить в виде разности квадратов: $cos^2(x) - sin^2(x) = (cos(x) - sin(x))(cos(x) + sin(x))$.

Подставим это выражение в исходное неравенство: $cos(x) - sin(x) - (cos(x) - sin(x))(cos(x) + sin(x)) > 0$

Теперь вынесем общий множитель $(cos(x) - sin(x))$ за скобки: $(cos(x) - sin(x))(1 - (cos(x) + sin(x))) > 0$ $(cos(x) - sin(x))(1 - cos(x) - sin(x)) > 0$

Решим полученное неравенство методом интервалов на заданном промежутке $(0; 2\pi)$. Для этого найдем корни левой части, то есть решим уравнение: $(cos(x) - sin(x))(1 - cos(x) - sin(x)) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

1) $cos(x) - sin(x) = 0 \implies cos(x) = sin(x)$. Разделив обе части на $cos(x)$ (что возможно, так как если $cos(x)=0$, то $sin(x)=\pm1$, и равенство не выполняется), получим $tan(x) = 1$. На интервале $(0; 2\pi)$ решениями этого уравнения являются $x_1 = \frac{\pi}{4}$ и $x_2 = \frac{5\pi}{4}$.

2) $1 - cos(x) - sin(x) = 0 \implies cos(x) + sin(x) = 1$. Преобразуем левую часть с помощью введения вспомогательного угла: $\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}cos(x) + \frac{1}{\sqrt{2}}sin(x)) = 1$ $\sqrt{2}(cos(x)cos(\frac{\pi}{4}) + sin(x)sin(\frac{\pi}{4})) = 1$ $\sqrt{2}cos(x - \frac{\pi}{4}) = 1$ $cos(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ Отсюда $x - \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Получаем две серии решений: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ $x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k = 2\pi k$ На интервале $(0; 2\pi)$ находится только один корень из этих серий: $x_3 = \frac{\pi}{2}$.

Найденные корни $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{5\pi}{4}$ разбивают интервал $(0; 2\pi)$ на четыре промежутка. Определим знак выражения $f(x) = (cos(x) - sin(x))(1 - cos(x) - sin(x))$ на каждом из них, выбрав пробные точки.

• Интервал $(0; \frac{\pi}{4})$. Возьмем $x = \frac{\pi}{6}$.
  $cos(\frac{\pi}{6}) - sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}-1}{2} > 0$.
  $1 - cos(\frac{\pi}{6}) - sin(\frac{\pi}{6}) = 1 - \frac{\sqrt{3}+1}{2} = \frac{1-\sqrt{3}}{2} < 0$.
  Знак $f(x)$: $(+) \cdot (-) = (-)$.
• Интервал $(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2})$. Возьмем $x = \frac{\pi}{3}$.
  $cos(\frac{\pi}{3}) - sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1-\sqrt{3}}{2} < 0$.
  $1 - cos(\frac{\pi}{3}) - sin(\frac{\pi}{3}) = 1 - \frac{1+\sqrt{3}}{2} = \frac{1-\sqrt{3}}{2} < 0$.
  Знак $f(x)$: $(-) \cdot (-) = (+)$.
• Интервал $(\frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{4})$. Возьмем $x = \pi$.
  $cos(\pi) - sin(\pi) = -1 < 0$.
  $1 - cos(\pi) - sin(\pi) = 1 - (-1) = 2 > 0$.
  Знак $f(x)$: $(-) \cdot (+) = (-)$.
• Интервал $(\frac{5\pi}{4}; 2\pi)$. Возьмем $x = \frac{3\pi}{2}$.
  $cos(\frac{3\pi}{2}) - sin(\frac{3\pi}{2}) = 0 - (-1) = 1 > 0$.
  $1 - cos(\frac{3\pi}{2}) - sin(\frac{3\pi}{2}) = 1 - (0 - 1) = 2 > 0$.
  Знак $f(x)$: $(+) \cdot (+) = (+)$.

Неравенство $f(x) > 0$ выполняется на тех интервалах, где знак выражения положителен. Это интервалы $(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2})$ и $(\frac{5\pi}{4}; 2\pi)$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{5\pi}{4}; 2\pi)$.