Номер 1274, страница 355 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1274. Найти все значения $a$, при которых уравнение

$\sin 2x - 2a\sqrt{2}(\sin x + \cos x) + 1 - 6a^2 = 0$

имеет корни, и решить это уравнение.

Данное уравнение: $sin(2x) - 2a\sqrt{2}(sin(x) + cos(x)) + 1 - 6a^2 = 0$.

Это тригонометрическое уравнение с параметром. Для его решения удобно использовать замену переменной.

Пусть $t = sin(x) + cos(x)$.

Возведем это выражение в квадрат, чтобы выразить $sin(2x)$ через $t$:

$t^2 = (sin(x) + cos(x))^2 = sin^2(x) + 2sin(x)cos(x) + cos^2(x)$.

Используя основное тригонометрическое тождество $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$ и формулу синуса двойного угла $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$, получаем:

$t^2 = 1 + sin(2x)$, откуда $sin(2x) = t^2 - 1$.

Теперь найдем область допустимых значений для $t$. Преобразуем выражение для $t$ с помощью введения вспомогательного угла:

$t = sin(x) + cos(x) = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}sin(x) + \frac{1}{\sqrt{2}}cos(x)) = \sqrt{2}(cos(\frac{\pi}{4})sin(x) + sin(\frac{\pi}{4})cos(x))$.

По формуле синуса суммы, $t = \sqrt{2}sin(x + \frac{\pi}{4})$.

Поскольку область значений функции синус – отрезок $[-1, 1]$, то для $t$ получаем:

$-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$.

Подставим выражения через $t$ в исходное уравнение:

$(t^2 - 1) - 2a\sqrt{2}t + 1 - 6a^2 = 0$

$t^2 - 2\sqrt{2}at - 6a^2 = 0$

Получили квадратное уравнение относительно $t$. Решим его, используя формулу для корней квадратного уравнения.

Дискриминант $D = (-2\sqrt{2}a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6a^2) = 8a^2 + 24a^2 = 32a^2$.

Корни для $t$:

$t = \frac{2\sqrt{2}a \pm \sqrt{32a^2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}a \pm 4\sqrt{2}|a|}{2} = \sqrt{2}a \pm 2\sqrt{2}|a|$.

Раскроем модуль:

• Если $a \ge 0$, то $|a| = a$, и корни: $t_1 = \sqrt{2}a + 2\sqrt{2}a = 3\sqrt{2}a$ и $t_2 = \sqrt{2}a - 2\sqrt{2}a = -\sqrt{2}a$.
• Если $a < 0$, то $|a| = -a$, и корни: $t_1 = \sqrt{2}a - 2\sqrt{2}a = -\sqrt{2}a$ и $t_2 = \sqrt{2}a + 2\sqrt{2}a = 3\sqrt{2}a$.

В обоих случаях мы получаем два корня: $t_1 = 3\sqrt{2}a$ и $t_2 = -\sqrt{2}a$.

Нахождение всех значений a, при которых уравнение имеет корни

Исходное уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда хотя бы один из найденных корней $t_1$ или $t_2$ принадлежит отрезку $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

1. Для корня $t_1 = 3\sqrt{2}a$ должно выполняться условие:

$-\sqrt{2} \le 3\sqrt{2}a \le \sqrt{2}$

Разделив все части неравенства на $3\sqrt{2}$, получаем:

$-\frac{1}{3} \le a \le \frac{1}{3}$.

2. Для корня $t_2 = -\sqrt{2}a$ должно выполняться условие:

$-\sqrt{2} \le -\sqrt{2}a \le \sqrt{2}$

Разделив все части на $-\sqrt{2}$ (при этом знаки неравенства меняются на противоположные):

$1 \ge a \ge -1$, или $-1 \le a \le 1$.

Уравнение будет иметь решения, если значение $a$ удовлетворяет хотя бы одному из этих условий. Следовательно, нам нужно найти объединение полученных отрезков:

$[-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}] \cup [-1, 1] = [-1, 1]$.

Таким образом, исходное уравнение имеет корни при $a \in [-1, 1]$.

Решение уравнения

Теперь найдем решения $x$ для всех $a \in [-1, 1]$. Для этого вернемся к замене $sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{t}{\sqrt{2}}$.

1. Для корня $t_1 = 3\sqrt{2}a$ (который существует при $a \in [-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$):

$sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{3\sqrt{2}a}{\sqrt{2}} = 3a$.

Так как при $a \in [-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$ значение $3a \in [-1, 1]$, уравнение имеет решение:

$x + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \arcsin(3a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = (-1)^n \arcsin(3a) - \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. Для корня $t_2 = -\sqrt{2}a$ (который существует при $a \in [-1, 1]$):

$sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{-\sqrt{2}a}{\sqrt{2}} = -a$.

Так как при $a \in [-1, 1]$ значение $-a \in [-1, 1]$, уравнение имеет решение:

$x + \frac{\pi}{4} = (-1)^k \arcsin(-a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Используя нечетность арксинуса, $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$, получаем:

$x + \frac{\pi}{4} = -(-1)^k \arcsin(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

$x = -(-1)^k \arcsin(a) - \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ:

Уравнение имеет корни при $a \in [-1, 1]$.

Решения уравнения в зависимости от параметра $a$:

• При $a \in [-1, -\frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, 1]$ решение однородно:
  $x = -(-1)^k \arcsin(a) - \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
• При $a \in [-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$ решением является совокупность двух серий корней:
  $x = (-1)^n \arcsin(3a) - \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
  и
  $x = -(-1)^k \arcsin(a) - \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.