Номер 3, страница 355 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

3. Что называется арктангенсом числа $a$?

Арктангенсом числа $a$ (обозначается как $\arctan a$ или $\operatorname{arctg} a$) называется такое число $\alpha$, которое одновременно удовлетворяет двум строгим условиям:

1. Тангенс этого числа $\alpha$ равен $a$. Математически это записывается как: $\tan \alpha = a$.
2. Это число $\alpha$ (представляющее собой угол в радианах) принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Математически: $-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

Таким образом, запись $y = \arctan a$ является краткой и эквивалентна системе из двух условий:

$ \begin{cases} \tan y = a \\ -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2} \end{cases} $

Пояснение:

Функция тангенса ($y = \tan x$) является периодической с периодом $\pi$. Это означает, что для одного и того же значения $a$ существует бесконечное множество углов $x$, тангенс которых равен $a$ (например, $\tan(\frac{\pi}{4})=1$ и $\tan(\frac{5\pi}{4})=1$).

Чтобы сделать обратную функцию (арктангенс) однозначной, то есть чтобы каждому числу $a$ соответствовало только одно значение арктангенса, область значений арктангенса ограничивают так называемым главным значением. Для арктангенса это интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. На этом интервале функция тангенса монотонно возрастает и принимает все возможные действительные значения от $-\infty$ до $+\infty$.

Проще говоря, арктангенс числа $a$ – это угол из интервала от $-90^\circ$ до $+90^\circ$ (не включая $-90^\circ$ и $+90^\circ$), тангенс которого равен $a$.

Основные свойства функции $y = \arctan a$:

• Область определения: Арктангенс определён для любого действительного числа $a$, то есть $a \in (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: Значения арктангенса лежат в интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
• Нечетность: Функция является нечетной, то есть $\arctan(-a) = -\arctan(a)$ для любого действительного $a$.

Ответ: Арктангенсом числа $a$ называется такое число $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $a$.