Номер 1273, страница 355 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1273. Найти все значения $a$, при которых уравнение $\sin^{10} x + \cos^{10} x = a$ имеет корни.

Для того чтобы уравнение $\sin^{10}x + \cos^{10}x = a$ имело корни, параметр $a$ должен принадлежать множеству значений функции $f(x) = \sin^{10}x + \cos^{10}x$. Таким образом, задача сводится к нахождению области значений этой функции.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin^2x$. Поскольку $\sin^2x + \cos^2x = 1$, то $\cos^2x = 1 - t$. Так как $0 \le \sin^2x \le 1$, то переменная $t$ принимает значения из отрезка $[0, 1]$.

Выразим нашу функцию через новую переменную $t$:

$f(x) = \sin^{10}x + \cos^{10}x = (\sin^2x)^5 + (\cos^2x)^5 = t^5 + (1-t)^5$.

Теперь нам нужно найти множество значений функции $g(t) = t^5 + (1-t)^5$ на отрезке $t \in [0, 1]$.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $g(t)$ на отрезке $[0, 1]$, найдем ее производную $g'(t)$ и приравняем к нулю, чтобы найти критические точки.

$g'(t) = (t^5 + (1-t)^5)' = 5t^4 + 5(1-t)^4 \cdot (-1) = 5(t^4 - (1-t)^4)$.

Приравняем производную к нулю:

$5(t^4 - (1-t)^4) = 0$

$t^4 = (1-t)^4$

Поскольку $t \in [0, 1]$, то $t \ge 0$ и $1-t \ge 0$. Следовательно, мы можем извлечь корень четвертой степени из обеих частей уравнения:

$t = 1-t$

$2t = 1$

$t = \frac{1}{2}$

Критическая точка $t = \frac{1}{2}$ принадлежит отрезку $[0, 1]$.

Теперь вычислим значения функции $g(t)$ на концах отрезка $[0, 1]$ и в критической точке $t = \frac{1}{2}$.

При $t=0$:

$g(0) = 0^5 + (1-0)^5 = 1$.

При $t=1$:

$g(1) = 1^5 + (1-1)^5 = 1$.

При $t=\frac{1}{2}$:

$g(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^5 + (1-\frac{1}{2})^5 = (\frac{1}{2})^5 + (\frac{1}{2})^5 = 2 \cdot (\frac{1}{2})^5 = 2 \cdot \frac{1}{32} = \frac{1}{16}$.

Сравнивая полученные значения, видим, что наибольшее значение функции $g(t)$ на отрезке $[0, 1]$ равно 1, а наименьшее равно $\frac{1}{16}$.

Таким образом, множество значений функции $f(x) = \sin^{10}x + \cos^{10}x$ есть отрезок $[\frac{1}{16}, 1]$.

Следовательно, исходное уравнение имеет корни при $a \in [\frac{1}{16}, 1]$.

Ответ: $a \in [\frac{1}{16}, 1]$.