Номер 1271, страница 355 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1271. Найти все значения a, при которых уравнение

$ \sin^2 x - \sin x \cos x - 2\cos^2 x = a $

не имеет корней.

Для того чтобы найти все значения $a$, при которых данное уравнение не имеет корней, необходимо найти область значений функции, стоящей в левой части уравнения. Обозначим эту функцию как $f(x)$. Уравнение $f(x)=a$ не будет иметь корней, если значение $a$ не входит в область значений функции $f(x)$.

Исходное уравнение:

$\sin^2 x - \sin x \cos x - 2\cos^2 x = a$

Преобразуем левую часть уравнения, используя формулы понижения степени и двойного угла:

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$

$\sin x \cos x = \frac{\sin(2x)}{2}$

Подставим эти выражения в левую часть уравнения:

$f(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} - \frac{\sin(2x)}{2} - 2\left(\frac{1 + \cos(2x)}{2}\right)$

Упростим полученное выражение, приведя к общему знаменателю:

$f(x) = \frac{1 - \cos(2x) - \sin(2x) - 2(1 + \cos(2x))}{2}$

$f(x) = \frac{1 - \cos(2x) - \sin(2x) - 2 - 2\cos(2x)}{2}$

$f(x) = \frac{-1 - \sin(2x) - 3\cos(2x)}{2}$

$f(x) = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}(\sin(2x) + 3\cos(2x))$

Теперь найдем область значений выражения $g(x) = \sin(2x) + 3\cos(2x)$. Для этого воспользуемся методом введения вспомогательного угла (R-формула). Выражение вида $A\sin\alpha + B\cos\alpha$ можно представить как $R\sin(\alpha + \varphi)$, где $R = \sqrt{A^2 + B^2}$.

В нашем случае $A=1$, $B=3$.

$R = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$

Таким образом, $\sin(2x) + 3\cos(2x) = \sqrt{10}\sin(2x + \varphi)$ для некоторого угла $\varphi$.

Область значений функции синус, $\sin(2x + \varphi)$, есть отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, область значений выражения $\sqrt{10}\sin(2x + \varphi)$ есть отрезок $[-\sqrt{10}, \sqrt{10}]$.

Теперь мы можем найти область значений исходной функции $f(x)$:

$f(x) = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} g(x)$, где $-\sqrt{10} \le g(x) \le \sqrt{10}$.

Найдем минимальное и максимальное значения $f(x)$:

Минимальное значение $f_{min}$ достигается, когда выражение $g(x) = \sin(2x) + 3\cos(2x)$ максимально, то есть равно $\sqrt{10}$:

$f_{min} = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}(\sqrt{10}) = \frac{-1 - \sqrt{10}}{2}$

Максимальное значение $f_{max}$ достигается, когда выражение $g(x)$ минимально, то есть равно $-\sqrt{10}$:

$f_{max} = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}(-\sqrt{10}) = \frac{-1 + \sqrt{10}}{2}$

Таким образом, область значений левой части уравнения, $E(f)$, есть отрезок $\left[\frac{-1 - \sqrt{10}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{10}}{2}\right]$.

Уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда параметр $a$ принадлежит этой области значений. Соответственно, уравнение не имеет корней, если $a$ находится вне этого отрезка.

Следовательно, уравнение не имеет корней при $a < \frac{-1 - \sqrt{10}}{2}$ или $a > \frac{-1 + \sqrt{10}}{2}$.

Ответ: $a \in \left(-\infty; \frac{-1 - \sqrt{10}}{2}\right) \cup \left(\frac{-1 + \sqrt{10}}{2}; +\infty\right)$.