Номер 4, страница 356 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

4. Решить уравнение:

1) $\sin^2 x - 6\cos^2 x - 5\sin x \cos x = 0;$

2) $\sin x + 2\cos x = |\sin x|;$

3) $\sin 2x - 5\sin x + 5\cos x + 5 = 0;$

4) $\sin 2x \cos 4x = \sin 6x \cos 8x.$

1) $ \sin^2x - 6\cos^2x - 5\sin x \cos x = 0 $

Это однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Сначала проверим, является ли $ \cos x = 0 $ решением. Если $ \cos x = 0 $, то $ \sin^2 x = 1 $. Подставляя эти значения в исходное уравнение, получаем $ 1 - 6 \cdot 0 - 5 \cdot (\pm 1) \cdot 0 = 0 $, что приводит к неверному равенству $ 1 = 0 $. Следовательно, $ \cos x \neq 0 $, и мы можем разделить обе части уравнения на $ \cos^2 x $.

$ \frac{\sin^2x}{\cos^2x} - \frac{6\cos^2x}{\cos^2x} - \frac{5\sin x \cos x}{\cos^2x} = 0 $

После упрощения получаем уравнение относительно тангенса:

$ \tan^2x - 5\tan x - 6 = 0 $

Сделаем замену $ t = \tan x $. Получим квадратное уравнение:

$ t^2 - 5t - 6 = 0 $

Решим это уравнение. По теореме Виета, корни уравнения $ t_1 = -1 $ и $ t_2 = 6 $.

Теперь выполним обратную замену:

1. $ \tan x = -1 \implies x = \arctan(-1) + \pi k = -\frac{\pi}{4} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

2. $ \tan x = 6 \implies x = \arctan(6) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \ x = \arctan(6) + \pi n, \ k, n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \sin x + 2\cos x = |\sin x| $

Это уравнение содержит модуль, поэтому необходимо рассмотреть два случая.

Случай 1: $ \sin x \ge 0 $

В этом случае $ |\sin x| = \sin x $, и уравнение принимает вид:

$ \sin x + 2\cos x = \sin x $

$ 2\cos x = 0 \implies \cos x = 0 $

Решениями являются $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $. Теперь нужно выбрать те решения, которые удовлетворяют условию $ \sin x \ge 0 $.

Если $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, то $ \sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = 1 \ge 0 $. Эта серия решений подходит.

Если $ x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k $, то $ \sin(\frac{3\pi}{2} + 2\pi k) = -1 < 0 $. Эта серия решений не подходит.

Случай 2: $ \sin x < 0 $

В этом случае $ |\sin x| = -\sin x $, и уравнение принимает вид:

$ \sin x + 2\cos x = -\sin x $

$ 2\sin x + 2\cos x = 0 \implies \sin x + \cos x = 0 $

Разделив на $ \cos x $ (он не равен нулю, иначе и синус был бы равен нулю, что невозможно), получаем $ \tan x = -1 $.

Решениями являются $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $. Теперь нужно выбрать те решения, которые удовлетворяют условию $ \sin x < 0 $.

Если $ x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k $, то $ \sin(-\frac{\pi}{4} + 2\pi k) = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0 $. Эта серия решений подходит.

Если $ x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k $, то $ \sin(\frac{3\pi}{4} + 2\pi k) = \frac{\sqrt{2}}{2} > 0 $. Эта серия решений не подходит.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \ x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \ k, n \in \mathbb{Z} $.

3) $ \sin2x - 5\sin x + 5\cos x + 5 = 0 $

Преобразуем уравнение, используя формулу двойного угла $ \sin2x = 2\sin x \cos x $ и сгруппировав слагаемые:

$ 2\sin x \cos x + 5(\cos x - \sin x) + 5 = 0 $

Введем замену $ t = \cos x - \sin x $. Тогда $ t^2 = (\cos x - \sin x)^2 = \cos^2x - 2\sin x \cos x + \sin^2x = 1 - 2\sin x \cos x $. Отсюда $ 2\sin x \cos x = 1 - t^2 $.

Подставим замену в уравнение:

$ (1 - t^2) + 5t + 5 = 0 $

$ -t^2 + 5t + 6 = 0 $

$ t^2 - 5t - 6 = 0 $

Корни этого квадратного уравнения: $ t_1 = 6 $ и $ t_2 = -1 $.

Выполним обратную замену:

1. $ \cos x - \sin x = 6 $. Умножим и разделим левую часть на $ \sqrt{2} $: $ \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x) = \sqrt{2}\cos(x + \frac{\pi}{4}) $. Получаем $ \sqrt{2}\cos(x + \frac{\pi}{4}) = 6 $, или $ \cos(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} $. Так как $ 3\sqrt{2} > 1 $, это уравнение не имеет решений.

2. $ \cos x - \sin x = -1 $, что эквивалентно $ \sin x - \cos x = 1 $. Умножим и разделим левую часть на $ \sqrt{2} $: $ \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = \sqrt{2}\sin(x - \frac{\pi}{4}) $. Получаем $ \sqrt{2}\sin(x - \frac{\pi}{4}) = 1 $, или $ \sin(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} $.

Это уравнение распадается на два случая:

а) $ x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

б) $ x - \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \ x = \pi + 2\pi n, \ k, n \in \mathbb{Z} $.

4) $ \sin2x \cos4x = \sin6x \cos8x $

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой преобразования произведения синуса на косинус в сумму: $ \sin A \cos B = \frac{1}{2}(\sin(A+B) + \sin(A-B)) $.

Применим эту формулу к обеим частям уравнения.

Левая часть: $ \sin2x \cos4x = \frac{1}{2}(\sin(2x+4x) + \sin(2x-4x)) = \frac{1}{2}(\sin(6x) + \sin(-2x)) = \frac{1}{2}(\sin(6x) - \sin(2x)) $.

Правая часть: $ \sin6x \cos8x = \frac{1}{2}(\sin(6x+8x) + \sin(6x-8x)) = \frac{1}{2}(\sin(14x) + \sin(-2x)) = \frac{1}{2}(\sin(14x) - \sin(2x)) $.

Приравниваем полученные выражения:

$ \frac{1}{2}(\sin(6x) - \sin(2x)) = \frac{1}{2}(\sin(14x) - \sin(2x)) $

Умножим обе части на 2 и сократим $ -\sin(2x) $:

$ \sin(6x) = \sin(14x) $

Уравнение вида $ \sin A = \sin B $ равносильно совокупности двух систем:

1) $ 14x = 6x + 2\pi n \implies 8x = 2\pi n \implies x = \frac{\pi n}{4} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

2) $ 14x = \pi - 6x + 2\pi k \implies 20x = \pi + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi k}{10} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{4}, \ x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi k}{10}, \ n, k \in \mathbb{Z} $.