Страница 381 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какое число называют простым?

2. Какое число называют составным?

3. Сформулируйте основную теорему арифметики.

4. Что называют каноническим разложением составного числа на простые множители?

5. Сформулируйте малую теорему Ферма.

1. Какое число называют простым?
Простым числом называют натуральное (целое положительное) число, большее 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя. Другими словами, если число $p > 1$ делится нацело только на 1 и на $p$, то оно является простым. Например, числа 2, 3, 5, 7, 11, 13 являются простыми. Число 1 не является ни простым, ни составным, так как у него только один делитель.
Ответ: Натуральное число больше 1, которое делится только на 1 и на само себя.

2. Какое число называют составным?
Составным числом называют натуральное число, большее 1, которое не является простым. Это означает, что составное число имеет хотя бы один натуральный делитель, отличный от единицы и самого себя. Например, число 6 является составным, так как оно делится на 1, 2, 3 и 6. Его делители, отличные от 1 и 6, — это 2 и 3. Другие примеры составных чисел: 4, 8, 9, 10, 12.
Ответ: Натуральное число больше 1, которое имеет делители, отличные от 1 и самого себя.

3. Сформулируйте основную теорему арифметики.
Основная теорема арифметики (или теорема о единственности разложения на простые множители) утверждает, что любое натуральное число, большее единицы, либо является простым, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел, причём это представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей. Например, число 72 можно разложить на простые множители как $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$. Любое другое разложение числа 72 на простые множители будет состоять из тех же самых чисел, возможно, в другом порядке, например $3 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2$.
Ответ: Любое натуральное число больше 1 можно единственным образом представить в виде произведения простых множителей (с точностью до их перестановки).

4. Что называют каноническим разложением составного числа на простые множители?
Каноническим разложением составного числа $n$ на простые множители называется его представление в виде произведения степеней различных простых чисел, записанных в порядке возрастания их оснований. Общий вид канонического разложения: $n = p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot \ldots \cdot p_m^{k_m}$, где $p_1, p_2, \ldots, p_m$ — различные простые числа, упорядоченные по возрастанию ($p_1 < p_2 < \ldots < p_m$), а $k_1, k_2, \ldots, k_m$ — натуральные числа (степени, в которых простые множители входят в разложение). Например, каноническое разложение числа 360 имеет вид $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1$.
Ответ: Представление числа в виде произведения степеней различных простых множителей, упорядоченных по возрастанию оснований.

5. Сформулируйте малую теорему Ферма.
Малая теорема Ферма гласит: если $p$ — простое число, а $a$ — целое число, не делящееся на $p$, то число $a^{p-1} - 1$ делится нацело на $p$. В терминах сравнений по модулю это записывается так: $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$. Существует также другая, эквивалентная формулировка теоремы, которая не требует, чтобы $a$ не делилось на $p$: если $p$ — простое число, то для любого целого числа $a$ число $a^p - a$ делится нацело на $p$. Формально: $a^p \equiv a \pmod{p}$. Например, если $p=7$ и $a=2$ (2 не делится на 7), то $2^{7-1} = 2^6 = 64$. При делении 64 на 7 получаем $64 = 9 \cdot 7 + 1$, то есть $64 \equiv 1 \pmod{7}$, что подтверждает теорему.
Ответ: Если $p$ — простое число, а $a$ — целое число, не делящееся на $p$, то $a^{p-1}$ даёт остаток 1 при делении на $p$.