Страница 382 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

49.1. Известно, что числа1 $a$ и $b$ таковы, что $ab : q$. Верно ли утверждение, что $a : q$ или $b : q$, если:

1) $q = 13$;

2) $q = 21$?

1) q = 13
Утверждение "если произведение $ab$ делится на $q$, то $a$ делится на $q$ или $b$ делится на $q$" является верным в том и только в том случае, когда число $q$ является простым. Число 13 — простое, так как оно делится без остатка только на 1 и на само себя. Это свойство известно как лемма Евклида: если произведение двух целых чисел $a$ и $b$ делится на простое число $p$, то по крайней мере одно из этих чисел ($a$ или $b$) также должно делиться на $p$. В нашем случае дано, что $ab$ делится на 13. Поскольку 13 — простое число, из этого следует, что либо $a$ делится на 13, либо $b$ делится на 13. Следовательно, данное утверждение верно.
Ответ: да, верно.

2) q = 21
Число 21 является составным, так как оно имеет делители, отличные от 1 и 21. Его можно разложить на простые множители: $21 = 3 \times 7$. Для составных чисел утверждение "если произведение $ab$ делится на $q$, то $a$ делится на $q$ или $b$ делится на $q$" в общем случае неверно. Чтобы опровергнуть это утверждение, достаточно привести контрпример. Пусть $a = 3$ и $b = 7$. Найдем их произведение: $ab = 3 \times 7 = 21$. Произведение $ab = 21$ делится на $q = 21$. Однако ни один из множителей в отдельности не делится на 21: $a = 3$ не делится на 21, и $b = 7$ не делится на 21. Так как мы нашли пример, в котором условие ($ab$ делится на 21) выполняется, а вывод ($a$ делится на 21 или $b$ делится на 21) — нет, то исходное утверждение неверно.
Ответ: нет, неверно.

49.2. Известно, что числа $m$ и $n$ таковы, что $mn \vdots p$. Верно ли утверждение, что $m \vdots p$ или $n \vdots p$, если:

1) $p = 29$;

2) $p = 39$?

Данное утверждение напрямую связано со свойством простых чисел. Утверждение "если произведение $mn$ делится на число $p$, то $m$ делится на $p$ или $n$ делится на $p$" верно тогда и только тогда, когда число $p$ является простым. Рассмотрим каждый случай отдельно.

1) $p = 29$
Проверим, является ли число 29 простым. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Для проверки достаточно проверить делимость на простые числа, не превосходящие $\sqrt{29} \approx 5.4$. Такими простыми числами являются 2, 3, 5.
Число 29 не делится на 2, так как оно нечетное.
Число 29 не делится на 3, так как сумма его цифр $2+9=11$ не делится на 3.
Число 29 не делится на 5, так как оно не оканчивается на 0 или 5.
Следовательно, 29 — простое число.
Согласно лемме Евклида, если произведение двух целых чисел $m$ и $n$ делится на простое число $p$, то по крайней мере один из сомножителей ($m$ или $n$) должен делиться на $p$.
Так как 29 — простое число, то из того, что $mn \vdots 29$, следует, что $m \vdots 29$ или $n \vdots 29$. Утверждение верно.
Ответ: да, верно.

2) $p = 39$
Проверим, является ли число 39 простым. Число 39 делится на 3, так как сумма его цифр $3+9=12$ делится на 3. Мы можем разложить 39 на множители: $39 = 3 \cdot 13$.
Поскольку 39 имеет делители, отличные от 1 и 39, оно является составным числом.
Для составных чисел данное утверждение, в общем случае, неверно. Чтобы это доказать, достаточно привести контрпример.
Пусть $m = 3$ и $n = 13$.
Найдем их произведение: $mn = 3 \cdot 13 = 39$.
Произведение $mn = 39$ делится на $p = 39$. Таким образом, условие $mn \vdots p$ выполнено.
Однако ни один из множителей не делится на 39:
$m = 3$ не делится на 39.
$n = 13$ не делится на 39.
Мы нашли пример, когда $mn$ делится на 39, но ни $m$, ни $n$ не делятся на 39. Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: нет, неверно.

49.3. Докажите, что остаток при делении простого числа на 30 равен 1 или простому числу.

Пусть $p$ — простое число. Согласно теореме о делении с остатком, любое простое число $p$ можно представить в виде $p = 30k + r$, где $k$ — целое неотрицательное число, а $r$ — остаток, удовлетворяющий условию $0 \le r < 30$. Нам нужно доказать, что $r$ равен 1 или является простым числом.

Рассмотрим два случая.

1. Если $p$ — это одно из простых чисел, являющихся делителями числа 30.

Разложение числа 30 на простые множители: $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$. Простыми делителями являются числа 2, 3 и 5.

• При делении $p=2$ на 30 получаем: $2 = 30 \cdot 0 + 2$. Остаток $r=2$. Число 2 — простое.
• При делении $p=3$ на 30 получаем: $3 = 30 \cdot 0 + 3$. Остаток $r=3$. Число 3 — простое.
• При делении $p=5$ на 30 получаем: $5 = 30 \cdot 0 + 5$. Остаток $r=5$. Число 5 — простое.

В этих случаях утверждение верно.

2. Если $p$ — простое число, большее 5 (то есть $p > 5$).

Такое число не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5. Рассмотрим равенство $r = p - 30k$.

• Число $30k$ делится на 2. Поскольку $p$ — простое и $p > 2$, оно нечётное (не делится на 2). Разность числа, не делящегося на 2, и числа, делящегося на 2, не делится на 2. Следовательно, остаток $r$ не делится на 2.
• Число $30k$ делится на 3. Поскольку $p$ — простое и $p > 3$, оно не делится на 3. Разность числа, не делящегося на 3, и числа, делящегося на 3, не делится на 3. Следовательно, остаток $r$ не делится на 3.
• Число $30k$ делится на 5. Поскольку $p$ — простое и $p > 5$, оно не делится на 5. Разность числа, не делящегося на 5, и числа, делящегося на 5, не делится на 5. Следовательно, остаток $r$ не делится на 5.

Таким образом, остаток $r$ должен быть целым числом в диапазоне $0 \le r < 30$, которое не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5. Это означает, что $r$ и 30 должны быть взаимно простыми числами.

Выпишем все такие числа в указанном диапазоне: 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Теперь проверим каждое из этих возможных значений остатка:

• 1 — удовлетворяет условию (равен 1).
• 7 — простое число.
• 11 — простое число.
• 13 — простое число.
• 17 — простое число.
• 19 — простое число.
• 23 — простое число.
• 29 — простое число.

Все возможные остатки в этом случае являются либо 1, либо простыми числами.

Объединяя результаты обоих случаев, мы заключаем, что остаток от деления любого простого числа на 30 равен 1 или простому числу.

Ответ: Утверждение доказано.

49.4. Докажите, что каждое простое число $p(p > 3)$ можно записать в виде $6k + 1$ или $6k - 1, k \in N$.

Любое натуральное число $n$ при делении на 6 даёт один из остатков: 0, 1, 2, 3, 4 или 5. Это означает, что любое натуральное число можно представить в одном из следующих шести видов, где $k$ — некоторое натуральное число или ноль:

$n = 6k$
$n = 6k + 1$
$n = 6k + 2$
$n = 6k + 3$
$n = 6k + 4$
$n = 6k + 5$

Рассмотрим простое число $p$, такое что $p > 3$. Проанализируем, какой из перечисленных видов оно может иметь.

- Число $p$ не может иметь вид $p = 6k$, так как в этом случае оно делится на 6, а следовательно, на 2 и на 3. Простое число может делиться только на 1 и на само себя. Такое число не является простым (кроме случаев $p=2$ и $p=3$, которые не удовлетворяют условию $p > 3$).

- Число $p$ не может иметь вид $p = 6k + 2 = 2(3k + 1)$, так как в этом случае оно является чётным числом. Единственное простое чётное число — это 2, но по условию $p > 3$. Следовательно, любое число такого вида при $k \ge 1$ будет составным.

- Число $p$ не может иметь вид $p = 6k + 3 = 3(2k + 1)$, так как в этом случае оно делится на 3. Единственное простое число, кратное 3, — это 3, но по условию $p > 3$. Следовательно, любое число такого вида при $k \ge 1$ будет составным.

- Число $p$ не может иметь вид $p = 6k + 4 = 2(3k + 2)$, так как в этом случае оно также является чётным числом, большим 2, а значит, составным.

Таким образом, для простого числа $p > 3$ остаются только две возможные формы: $p = 6k + 1$ или $p = 6k + 5$.

Рассмотрим форму $p = 6k + 5$. Её можно записать иначе: $p = 6k + 6 - 1 = 6(k+1) - 1$. Если мы введём новую переменную $m = k+1$, то получим $p = 6m - 1$. Так как по условию $k \in N$ (натуральные числа, начиная с 1), то $m$ также будет натуральным числом ($m \ge 2$).

Следовательно, любое простое число $p > 3$ можно записать либо в виде $6k + 1$, либо в виде $6k - 1$ для некоторого натурального числа $k$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Любое простое число $p > 3$ не делится ни на 2, ни на 3. При делении на 6 любое натуральное число может быть представлено в виде $6k+r$, где остаток $r \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$.
- Числа вида $6k$, $6k+2$ и $6k+4$ являются чётными. Поскольку $p>3$, оно не может быть чётным.
- Числа вида $6k$ и $6k+3$ делятся на 3. Поскольку $p>3$, оно не может делиться на 3.
Следовательно, для простого числа $p>3$ остаются только две возможные формы: $p = 6k+1$ и $p = 6k+5$. Форма $p = 6k+5$ эквивалентна форме $p=6(k+1)-1=6m-1$ для некоторого натурального $m$. Таким образом, доказано, что любое простое число $p>3$ имеет вид $6k+1$ или $6k-1$, где $k \in N$.

49.5. Докажите, что если $p$ — простое число и $p > 3$, то $(p^2 - 1) \vdots 24$.

Чтобы доказать, что выражение $(p^2 - 1)$ делится на 24, нам нужно показать, что оно делится на 3 и на 8, поскольку $24 = 3 \times 8$, а числа 3 и 8 являются взаимно простыми.

Доказательство делимости на 3

Разложим выражение на множители по формуле разности квадратов: $p^2 - 1 = (p - 1)(p + 1)$.

Числа $(p - 1)$, $p$ и $(p + 1)$ являются тремя последовательными целыми числами. Среди любых трех последовательных целых чисел одно обязательно делится на 3.

Согласно условию, $p$ — простое число и $p > 3$, следовательно, $p$ не делится на 3.

Значит, на 3 делится либо $(p - 1)$, либо $(p + 1)$. В любом случае, их произведение $(p - 1)(p + 1)$ делится на 3. Таким образом, доказано, что $(p^2 - 1)$ кратно 3.

Доказательство делимости на 8

Поскольку $p$ — простое число больше 3, оно является нечетным. Следовательно, $(p - 1)$ и $(p + 1)$ — это два последовательных четных числа.

Среди двух последовательных четных чисел одно обязательно делится на 4. Докажем это: пусть $(p-1)$ — первое четное число. Если $(p-1)$ делится на 4, то утверждение верно. Если $(p-1)$ не делится на 4, то оно имеет вид $4k+2$ для некоторого целого $k$. Тогда следующее четное число $(p+1)$ будет равно $(4k+2) + 2 = 4k+4 = 4(k+1)$, что очевидно делится на 4.

Таким образом, в произведении $(p - 1)(p + 1)$ один из множителей делится на 2 (так как оба четные), а другой — на 4. Следовательно, их произведение делится на $2 \times 4 = 8$. Таким образом, доказано, что $(p^2 - 1)$ кратно 8.

Заключение

Мы доказали, что $(p^2 - 1)$ делится одновременно на 3 и на 8. Так как числа 3 и 8 взаимно простые, то $(p^2 - 1)$ делится и на их произведение, то есть на $3 \times 8 = 24$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

49.6. Простые числа $p$ и $q$ таковы, что $p > 3$ и $q > 3$. Докажите, что $(p^2 - q^2) : 24$.

Для того чтобы доказать, что выражение $(p^2 - q^2)$ делится на 24 (обозначается как $(p^2 - q^2) \vdots 24$), необходимо доказать, что оно делится на 3 и на 8, поскольку числа 3 и 8 являются взаимно простыми, а их произведение равно $3 \cdot 8 = 24$.

Докажем сначала, что $(p^2 - q^2)$ делится на 3.

По условию, $p$ и $q$ — простые числа, большие 3. Это означает, что ни $p$, ни $q$ не делятся на 3. Любое целое число, которое не делится на 3, при делении на 3 даёт в остатке 1 или 2. Следовательно, любое простое число $n > 3$ можно представить в виде $n = 3k \pm 1$ для некоторого натурального числа $k$.

Рассмотрим квадрат такого числа:

$n^2 = (3k \pm 1)^2 = (3k)^2 \pm 2 \cdot 3k \cdot 1 + 1^2 = 9k^2 \pm 6k + 1 = 3(3k^2 \pm 2k) + 1$.

Это выражение показывает, что квадрат любого простого числа, большего 3, при делении на 3 даёт в остатке 1. Таким образом, мы имеем:

$p^2 \equiv 1 \pmod{3}$

$q^2 \equiv 1 \pmod{3}$

Теперь рассмотрим разность их квадратов:

$p^2 - q^2 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{3}$.

Это означает, что $(p^2 - q^2)$ делится на 3.

Теперь докажем, что $(p^2 - q^2)$ делится на 8.

Так как $p$ и $q$ — простые числа, большие 3, они оба являются нечётными числами (единственное чётное простое число — это 2). Любое нечётное число $n$ можно представить в виде $n = 2k + 1$ для некоторого целого числа $k$.

Возведём нечётное число в квадрат:

$n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4k(k+1) + 1$.

Выражение $k(k+1)$ представляет собой произведение двух последовательных целых чисел. Одно из этих чисел обязательно является чётным, поэтому их произведение всегда делится на 2. Пусть $k(k+1) = 2m$ для некоторого целого числа $m$.

Подставим это в выражение для $n^2$:

$n^2 = 4(2m) + 1 = 8m + 1$.

Это означает, что квадрат любого нечётного числа при делении на 8 даёт в остатке 1. Поскольку $p$ и $q$ — нечётные числа, то:

$p^2 \equiv 1 \pmod{8}$

$q^2 \equiv 1 \pmod{8}$

Рассмотрим разность их квадратов:

$p^2 - q^2 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{8}$.

Это означает, что $(p^2 - q^2)$ делится на 8.

Итак, мы доказали, что $(p^2 - q^2)$ делится на 3 и на 8. Поскольку 3 и 8 — взаимно простые числа, то $(p^2 - q^2)$ должно делиться на их произведение, то есть на 24. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

49.7. Найдите все простые числа $p$ такие, что числа $p + 26$ и $p + 28$ также простые.

Для решения этой задачи рассмотрим остатки от деления чисел $p$, $p + 26$ и $p + 28$ на 3.

Любое простое число $p$, кроме 3, не делится на 3. То есть остаток от деления $p$ на 3 может быть либо 1, либо 2.

Давайте посмотрим на остатки всех трёх чисел при делении на 3:

• Первое число: $p$
• Второе число: $p + 26$. Так как $26 = 3 \cdot 8 + 2$, то остаток от деления $p+26$ на 3 такой же, как у $p+2$.
• Третье число: $p + 28$. Так как $28 = 3 \cdot 9 + 1$, то остаток от деления $p+28$ на 3 такой же, как у $p+1$.

Таким образом, мы имеем три числа, которые при делении на 3 дают такие же остатки, как $p$, $p+1$ и $p+2$. Эти три числа являются тремя последовательными целыми числами. Среди любых трёх последовательных целых чисел одно всегда делится на 3.

Следовательно, одно из чисел $p$, $p + 26$ или $p + 28$ должно быть кратно 3.

По условию задачи все три числа должны быть простыми. Единственное простое число, которое делится на 3, — это само число 3. Значит, одно из наших чисел должно быть равно 3.

Рассмотрим три возможных случая:

1. $p = 3$.
Это простое число. Проверим два других числа:
$p + 26 = 3 + 26 = 29$. Это простое число.
$p + 28 = 3 + 28 = 31$. Это также простое число.
Все три числа ($3, 29, 31$) являются простыми, значит, $p=3$ — это решение.

2. $p + 26 = 3$.
В этом случае $p = 3 - 26 = -23$. Это число не является простым, так как по определению простые числа — это натуральные числа, большие 1.

3. $p + 28 = 3$.
В этом случае $p = 3 - 28 = -25$. Это число также не является простым.

Таким образом, единственным возможным вариантом является $p = 3$.

Ответ: 3

49.8. Найдите все простые числа $p$ такие, что числа $2p + 1$ и $4p + 1$ также простые.

Чтобы найти все такие простые числа $p$, рассмотрим несколько первых простых чисел и проанализируем общие свойства.

1. Если $p = 2$ (первое простое число):
$2p + 1 = 2(2) + 1 = 5$ (простое число).
$4p + 1 = 4(2) + 1 = 9$ (составное число, так как $9 = 3 \cdot 3$).
Следовательно, $p = 2$ не является решением.

2. Если $p = 3$ (следующее простое число):
$2p + 1 = 2(3) + 1 = 7$ (простое число).
$4p + 1 = 4(3) + 1 = 13$ (простое число).
Все три числа ($p$, $2p+1$, $4p+1$) являются простыми. Следовательно, $p = 3$ является решением.

3. Если $p > 3$ (любое простое число, большее 3):
Любое простое число $p > 3$ не делится на 3. Это означает, что при делении на 3 число $p$ может давать в остатке либо 1, либо 2. Рассмотрим оба этих случая.

Случай А: $p$ дает остаток 1 при делении на 3.
Это можно записать в виде $p = 3k + 1$ для некоторого натурального числа $k$.
Тогда проверим число $2p + 1$:
$2p + 1 = 2(3k + 1) + 1 = 6k + 2 + 1 = 6k + 3 = 3(2k + 1)$.
Поскольку $p > 3$, то $k \geq 2$. Это значит, что $2k+1 > 1$. Таким образом, число $2p+1$ имеет делитель 3 и не равно 3, следовательно, оно является составным. В этом случае решения нет.

Случай Б: $p$ дает остаток 2 при делении на 3.
Это можно записать в виде $p = 3k + 2$ для некоторого натурального числа $k$.
Тогда проверим число $4p + 1$:
$4p + 1 = 4(3k + 2) + 1 = 12k + 8 + 1 = 12k + 9 = 3(4k + 3)$.
Поскольку $p > 3$ (например, $p=5$, тогда $k=1$), то $k \geq 1$. Это значит, что $4k+3 > 1$. Таким образом, число $4p+1$ имеет делитель 3 и не равно 3, следовательно, оно является составным. В этом случае решения также нет.

Мы рассмотрели все возможные простые числа $p$. Единственное значение, которое удовлетворяет условию задачи, — это $p=3$.

Ответ: 3.

49.9. Целые числа $a$ и $b$ таковы, что значение выражения $a^2 + 9ab + b^2$ кратно 11. Докажите, что значение выражения $a - b$ кратно 11.

По условию задачи известно, что $a$ и $b$ — целые числа и значение выражения $a^2 + 9ab + b^2$ кратно 11.

Наша задача — доказать, что выражение $a - b$ также кратно 11.

Преобразуем исходное выражение $a^2 + 9ab + b^2$, чтобы оно содержало искомое выражение $a - b$. Для этого воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Выражение $a^2 + 9ab + b^2$ можно представить в следующем виде:

$a^2 + 9ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2 + 11ab$

Сгруппировав первые три слагаемых, получим:

$(a^2 - 2ab + b^2) + 11ab = (a-b)^2 + 11ab$

Итак, мы показали, что $a^2 + 9ab + b^2 = (a-b)^2 + 11ab$.

По условию, левая часть этого равенства делится на 11. В правой части равенства слагаемое $11ab$ также делится на 11, поскольку содержит множитель 11, а $a$ и $b$ — целые числа.

Если сумма двух целых чисел делится на некоторое число, и одно из слагаемых делится на это же число, то и второе слагаемое обязано делиться на него. Следовательно, выражение $(a-b)^2$ должно быть кратно 11.

Число 11 является простым. Если произведение двух одинаковых целых чисел $(a-b) \cdot (a-b)$ делится на простое число 11, то и само число $(a-b)$ должно делиться на 11.

Таким образом, мы доказали, что значение выражения $a - b$ кратно 11.

Ответ: Доказано, что если значение выражения $a^2 + 9ab + b^2$ кратно 11, то и значение выражения $a - b$ кратно 11.

49.10 Целые числа $m$ и $n$ таковы, что значение выражения $m^2 - 15mn + n^2$ кратно 17. Докажите, что значение выражения $m + n$ кратно 17.

По условию задачи, $m$ и $n$ — целые числа, и значение выражения $m^2 - 15mn + n^2$ кратно 17. Это означает, что $(m^2 - 15mn + n^2) \vdots 17$.

Наша цель — доказать, что $(m+n) \vdots 17$.

Преобразуем данное выражение, чтобы связать его с выражением $m+n$. Для этого воспользуемся формулой квадрата суммы: $(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$.

Выразим $m^2+n^2$ из этой формулы: $m^2+n^2 = (m+n)^2 - 2mn$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$m^2 - 15mn + n^2 = (m^2 + n^2) - 15mn = ((m+n)^2 - 2mn) - 15mn = (m+n)^2 - 17mn$.

По условию, значение этого выражения кратно 17. То есть, $((m+n)^2 - 17mn)$ делится на 17.

Рассмотрим получившееся выражение. Оно представляет собой разность двух слагаемых: $(m+n)^2$ и $17mn$.

Второе слагаемое, $17mn$, очевидно делится на 17, так как одним из его множителей является 17, а $m$ и $n$ — целые числа.

Мы имеем разность, которая делится на 17, и вычитаемое ($17mn$), которое также делится на 17. Согласно свойствам делимости, если разность и вычитаемое делятся на некоторое число, то и уменьшаемое должно делиться на это же число.

Следовательно, $(m+n)^2$ должно делиться на 17.

Число 17 является простым. Для простых чисел справедливо следующее свойство: если квадрат целого числа делится на простое число $p$, то и само это целое число делится на $p$.

Поскольку $(m+n)^2$ делится на простое число 17, то и само число $(m+n)$ должно делиться на 17.

Таким образом, мы доказали, что значение выражения $m+n$ кратно 17, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Ключевым шагом является преобразование выражения $m^2 - 15mn + n^2$ к виду $(m+n)^2 - 17mn$. По условию, это выражение делится на 17. Так как слагаемое $17mn$ также делится на 17, то и $(m+n)^2$ должно делиться на 17. Поскольку 17 — простое число, отсюда следует, что и $m+n$ делится на 17.

49.11. Числа $p$ и $8p^2+1$ — простые. Найдите $p$.

По условию задачи, числа $p$ и $8p^2 + 1$ являются простыми. Проверим первые несколько простых чисел.

1. Пусть $p=2$. Тогда $8p^2 + 1 = 8 \cdot 2^2 + 1 = 8 \cdot 4 + 1 = 33$. Число 33 не является простым, так как $33 = 3 \cdot 11$. Следовательно, $p=2$ не является решением.

2. Пусть $p=3$. Тогда $8p^2 + 1 = 8 \cdot 3^2 + 1 = 8 \cdot 9 + 1 = 72 + 1 = 73$. Число 73 является простым. Таким образом, $p=3$ является решением.

3. Теперь докажем, что других решений для $p > 3$ не существует. Любое простое число $p$, большее 3, не делится на 3. Следовательно, при делении на 3 оно может давать в остатке 1 или 2. Рассмотрим, какой остаток при делении на 3 дает квадрат такого числа, $p^2$:

- Если $p$ дает остаток 1 при делении на 3 (то есть $p \equiv 1 \pmod{3}$), то $p^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{3}$.
- Если $p$ дает остаток 2 при делении на 3 (то есть $p \equiv 2 \pmod{3}$), то $p^2 \equiv 2^2 = 4 \equiv 1 \pmod{3}$.
В обоих случаях квадрат простого числа $p > 3$ при делении на 3 дает в остатке 1.

Теперь рассмотрим выражение $8p^2 + 1$ по модулю 3:

$8p^2 + 1 \equiv 8 \cdot 1 + 1 \pmod{3} \equiv 9 \pmod{3} \equiv 0 \pmod{3}$.

Это означает, что для любого простого числа $p > 3$ число $8p^2 + 1$ всегда делится на 3. Поскольку при $p > 3$ значение выражения $8p^2 + 1$ заведомо больше 3 (например, при $p=5$, $8 \cdot 5^2 + 1 = 201$), то оно является составным числом.

Таким образом, единственное простое число $p$, удовлетворяющее условию, — это $p=3$.

Ответ: 3

49.12. Числа $p$ и $p^2+2$ — простые. Докажите, что число $p^3+2$ также простое.

По условию, $p$ и $p^2 + 2$ — простые числа. Необходимо доказать, что число $p^3 + 2$ также является простым.

Рассмотрим различные случаи для простого числа $p$.

1. Пусть $p = 2$. Это единственное четное простое число.
Проверим число $p^2 + 2$:
$2^2 + 2 = 4 + 2 = 6$.
Число 6 является составным (делится на 2 и 3), что противоречит условию задачи. Значит, $p \ne 2$.

2. Пусть $p = 3$.
Проверим число $p^2 + 2$:
$3^2 + 2 = 9 + 2 = 11$.
Число 11 является простым. Оба числа, $p=3$ и $p^2+2=11$, — простые, что удовлетворяет условию задачи.

3. Пусть $p$ — простое число, большее 3.
Любое простое число $p > 3$ не делится на 3. Следовательно, при делении на 3 оно дает в остатке либо 1, либо 2.

• Если $p$ при делении на 3 дает в остатке 1 (т.е. $p \equiv 1 \pmod{3}$), то его можно записать в виде $p = 3k+1$ для некоторого натурального $k$.
  Тогда $p^2 + 2 = (3k+1)^2 + 2 = (9k^2 + 6k + 1) + 2 = 9k^2 + 6k + 3 = 3(3k^2 + 2k + 1)$.
  Так как $k \ge 1$, то $3k^2 + 2k + 1 > 1$. Значит, число $p^2 + 2$ имеет делитель 3 (и само оно больше 3), следовательно, оно составное. Это противоречит условию.
• Если $p$ при делении на 3 дает в остатке 2 (т.е. $p \equiv 2 \pmod{3}$), то его можно записать в виде $p = 3k+2$ для некоторого натурального $k$.
  Тогда $p^2 + 2 = (3k+2)^2 + 2 = (9k^2 + 12k + 4) + 2 = 9k^2 + 12k + 6 = 3(3k^2 + 4k + 2)$.
  Так как $k \ge 1$, то $3k^2 + 4k + 2 > 1$. Значит, число $p^2 + 2$ также имеет делитель 3 (и само оно больше 3), следовательно, оно составное. Это тоже противоречит условию.

Из всех рассмотренных случаев следует, что единственным простым числом $p$, удовлетворяющим условию, что $p^2 + 2$ также простое, является $p=3$.

Теперь найдем значение выражения $p^3 + 2$ для $p=3$:
$p^3 + 2 = 3^3 + 2 = 27 + 2 = 29$.
Число 29 является простым. Таким образом, мы доказали, что если $p$ и $p^2 + 2$ — простые, то и $p^3 + 2$ — простое.

Ответ: Утверждение доказано.

49.13. Найдите все простые числа $p$ и $q$, удовлетворяющие уравнению

$p^2 - 2q^2 = 1.$

Дано уравнение $p^2 - 2q^2 = 1$, где $p$ и $q$ — простые числа.

Перепишем уравнение в виде $p^2 - 1 = 2q^2$.

Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов:

$(p - 1)(p + 1) = 2q^2$.

Рассмотрим возможные значения для простого числа $p$.

Случай 1: $p = 2$.

Подставим $p = 2$ в уравнение: $2^2 - 2q^2 = 1$, что дает $4 - 2q^2 = 1$. Отсюда $2q^2 = 3$, и $q^2 = 3/2$. Это уравнение не имеет целочисленных решений для $q$, следовательно, $p$ не может быть равно 2.

Случай 2: $p$ — нечетное простое число.

Так как $p$ — простое число и $p \ne 2$, то $p$ должно быть нечетным, а значит $p \ge 3$.

Если $p$ — нечетное число, то $p-1$ и $p+1$ — два последовательных четных числа.

Так как $p-1$ и $p+1$ — последовательные четные числа, одно из них делится на 2, а другое — на 4. Следовательно, их произведение $(p-1)(p+1)$ делится на $2 \times 4 = 8$.

Из уравнения $(p - 1)(p + 1) = 2q^2$ следует, что $2q^2$ должно быть кратно 8. Это означает, что $q^2$ должно быть кратно 4, а значит, $q$ должно быть четным числом.

Единственное простое четное число — это 2. Таким образом, $q = 2$.

Теперь подставим значение $q = 2$ в исходное уравнение, чтобы найти $p$:

$p^2 - 2(2^2) = 1$

$p^2 - 2 \cdot 4 = 1$

$p^2 - 8 = 1$

$p^2 = 9$

Отсюда $p = 3$ или $p = -3$. Так как $p$ — простое число, оно должно быть положительным, поэтому $p = 3$.

Проверим найденную пару чисел. $p=3$ и $q=2$ оба являются простыми числами.

Подставим их в исходное уравнение: $3^2 - 2(2^2) = 9 - 8 = 1$. Равенство верно.

Таким образом, единственная пара простых чисел, удовлетворяющая уравнению, это $p=3$ и $q=2$.

Ответ: $p=3, q=2$.

49.14. Найдите все простые числа $p$ и $q$, удовлетворяющие уравнению

$q - p^2 = 2$.

Нам дано уравнение $q - p^2 = 2$, где $p$ и $q$ — простые числа. Выразим $q$ через $p$:

$q = p^2 + 2$

Теперь будем перебирать простые числа $p$ и проверять, является ли полученное значение $q$ простым.

1. Пусть $p = 2$. Это единственное четное простое число.

Подставим его в уравнение: $q = 2^2 + 2 = 4 + 2 = 6$. Число 6 не является простым, так как оно делится на 2 и 3. Следовательно, пара чисел $(2, 6)$ не является решением.

2. Пусть $p = 3$.

Подставим его в уравнение: $q = 3^2 + 2 = 9 + 2 = 11$. Число 11 является простым. Следовательно, пара $(p=3, q=11)$ является решением.

3. Теперь рассмотрим все простые числа $p > 3$.

Любое простое число $p > 3$ не делится на 3. Следовательно, при делении на 3 оно может давать в остатке либо 1, либо 2. Рассмотрим оба случая.

Случай 3.1: $p$ при делении на 3 дает в остатке 1. Это можно записать в виде $p = 3k + 1$ для некоторого натурального числа $k$. Тогда $p^2 = (3k+1)^2 = 9k^2 + 6k + 1$. Найдем $q$: $q = p^2 + 2 = (9k^2 + 6k + 1) + 2 = 9k^2 + 6k + 3$. Вынесем общий множитель 3: $q = 3(3k^2 + 2k + 1)$. Отсюда видно, что $q$ делится на 3. Поскольку $p > 3$, то $k \geq 2$ (например, для $p=7$, $k=2$), значит $3k^2 + 2k + 1 > 1$, и следовательно $q > 3$. Таким образом, $q$ является составным числом, так как оно делится на 3 и больше 3. В этом случае решений нет.

Случай 3.2: $p$ при делении на 3 дает в остатке 2. Это можно записать в виде $p = 3k + 2$ для некоторого натурального числа $k$. Тогда $p^2 = (3k+2)^2 = 9k^2 + 12k + 4$. Найдем $q$: $q = p^2 + 2 = (9k^2 + 12k + 4) + 2 = 9k^2 + 12k + 6$. Вынесем общий множитель 3: $q = 3(3k^2 + 4k + 2)$. Отсюда видно, что $q$ делится на 3. Поскольку $p > 3$ (например, $p=5=3\cdot1+2$), то $k \geq 1$, значит $3k^2 + 4k + 2 > 1$, и следовательно $q > 3$. Таким образом, $q$ является составным числом. В этом случае решений также нет.

Мы рассмотрели все возможные случаи для простого числа $p$ и пришли к выводу, что единственное решение существует только при $p=3$.

Ответ: $p = 3, q = 11$.

49.15. Натуральное число $n$ таково, что числа $2n - 1$ и $n + 12$ делятся нацело на простое число $p$. Найдите $p$.

По условию задачи, натуральное число $n$ таково, что числа $2n - 1$ и $n + 12$ делятся нацело на одно и то же простое число $p$.

Если число $p$ делит два числа, то оно также делит их разность, сумму и любую их линейную комбинацию. То есть, если $p | a$ и $p | b$, то $p | (ka + lb)$ для любых целых $k$ и $l$.

Мы имеем:

$p | (2n - 1)$

$p | (n + 12)$

Чтобы исключить переменную $n$ из выражений, мы можем умножить второе выражение на 2. Так как $p$ делит $n + 12$, оно также делит и $2(n + 12)$, то есть $2n + 24$.

Теперь у нас есть два числа, которые делятся на $p$: $2n - 1$ и $2n + 24$. Значит, их разность также должна делиться на $p$:

$p | ((2n + 24) - (2n - 1))$

Вычислим эту разность:

$(2n + 24) - (2n - 1) = 2n + 24 - 2n + 1 = 25$

Следовательно, простое число $p$ должно быть делителем числа 25.

Найдем все простые делители числа 25. Разложение числа 25 на простые множители выглядит так: $25 = 5 \cdot 5 = 5^2$.

Единственным простым делителем числа 25 является 5.

Значит, $p = 5$.

Можно убедиться, что такое натуральное число $n$ существует. Например, при $n=3$:

$2n - 1 = 2 \cdot 3 - 1 = 5$, что делится на 5.

$n + 12 = 3 + 12 = 15$, что делится на 5.

Ответ: 5

49.16 Натуральное число $n$ таково, что числа $5n - 1$ и $n - 10$ делятся нацело на простое число $p$. Найдите $p$.

По условию задачи, числа $5n - 1$ и $n - 10$ делятся на простое число $p$. Это можно записать в виде системы сравнений:

$5n - 1 \equiv 0 \pmod{p}$
$n - 10 \equiv 0 \pmod{p}$

Также можно использовать свойство делимости: если $p$ делит два числа, то $p$ делит и их линейную комбинацию. То есть, если $a$ и $b$ делятся на $p$, то и число $xa + yb$ (где $x$ и $y$ — любые целые числа) также делится на $p$.

В нашем случае $a = 5n - 1$ и $b = n - 10$. Мы хотим избавиться от переменной $n$, чтобы найти $p$. Для этого умножим второе число $(n - 10)$ на 5 и вычтем его из первого числа $(5n - 1)$.

Таким образом, число $(5n - 1) - 5(n - 10)$ также должно делиться на $p$.

Выполним преобразования:

$(5n - 1) - 5(n - 10) = 5n - 1 - 5n + 50 = 49$.

Мы получили, что 49 должно делиться на $p$. Поскольку по условию $p$ — простое число, нам нужно найти простые делители числа 49.

Разложим 49 на простые множители:

$49 = 7^2$.

Единственным простым делителем числа 49 является 7.

Следовательно, $p = 7$.

Можно убедиться, что такое натуральное число $n$ существует. Например, если $n=17$, то:

$5n - 1 = 5 \cdot 17 - 1 = 85 - 1 = 84$. Число 84 делится на 7 ($84 = 7 \cdot 12$).

$n - 10 = 17 - 10 = 7$. Число 7 делится на 7.

Таким образом, условия задачи выполняются, и значение $p$ найдено верно.

Ответ: 7.

49.17. Натуральные числа $m, n$ и $k$ таковы, что числа $p = m + n$, $q = n + k$ и $r = m + k$ являются простыми. Докажите, что одно из чисел $p, q, r$ равно 2.

По условию, $m$, $n$ и $k$ — натуральные числа, а числа $p = m + n$, $q = n + k$ и $r = m + k$ являются простыми.

Рассмотрим сумму этих трех простых чисел:$p + q + r = (m + n) + (n + k) + (m + k) = 2m + 2n + 2k = 2(m + n + k)$.

Так как $m$, $n$ и $k$ — натуральные числа, то их сумма $(m + n + k)$ также является натуральным числом. Следовательно, сумма $p + q + r = 2(m + n + k)$ является четным числом.

Сумма трех простых чисел $p, q, r$ является четной. Проанализируем четность слагаемых. Сумма трех целых чисел будет четной только в двух случаях: либо все три числа четные, либо одно число четное, а два других нечетные. (Сумма трех нечетных чисел нечетна, а сумма двух четных и одного нечетного также нечетна).

Единственное простое число, которое является четным, — это 2. Все остальные простые числа нечетные.

Рассмотрим оба возможных случая для простых чисел $p, q, r$:

Первый случай: все три числа $p, q, r$ — четные. Так как это простые числа, то каждое из них должно быть равно 2. В этом случае утверждение, что одно из них равно 2, очевидно, верно.

Второй случай: одно из чисел четное, а два других нечетные. Это четное простое число должно быть равно 2. В этом случае также одно из чисел $p, q, r$ равно 2.

Таким образом, в любой допустимой ситуации хотя бы одно из чисел $p, q, r$ обязательно равно 2, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма чисел $p+q+r = 2(m+n+k)$ является четной. Сумма трех простых чисел может быть четной только если хотя бы одно из них четное. Единственное четное простое число — это 2. Следовательно, хотя бы одно из чисел $p, q, r$ равно 2.