Номер 49.14, страница 382 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

49.14. Найдите все простые числа $p$ и $q$, удовлетворяющие уравнению

$q - p^2 = 2$.

Нам дано уравнение $q - p^2 = 2$, где $p$ и $q$ — простые числа. Выразим $q$ через $p$:

$q = p^2 + 2$

Теперь будем перебирать простые числа $p$ и проверять, является ли полученное значение $q$ простым.

1. Пусть $p = 2$. Это единственное четное простое число.

Подставим его в уравнение: $q = 2^2 + 2 = 4 + 2 = 6$. Число 6 не является простым, так как оно делится на 2 и 3. Следовательно, пара чисел $(2, 6)$ не является решением.

2. Пусть $p = 3$.

Подставим его в уравнение: $q = 3^2 + 2 = 9 + 2 = 11$. Число 11 является простым. Следовательно, пара $(p=3, q=11)$ является решением.

3. Теперь рассмотрим все простые числа $p > 3$.

Любое простое число $p > 3$ не делится на 3. Следовательно, при делении на 3 оно может давать в остатке либо 1, либо 2. Рассмотрим оба случая.

Случай 3.1: $p$ при делении на 3 дает в остатке 1. Это можно записать в виде $p = 3k + 1$ для некоторого натурального числа $k$. Тогда $p^2 = (3k+1)^2 = 9k^2 + 6k + 1$. Найдем $q$: $q = p^2 + 2 = (9k^2 + 6k + 1) + 2 = 9k^2 + 6k + 3$. Вынесем общий множитель 3: $q = 3(3k^2 + 2k + 1)$. Отсюда видно, что $q$ делится на 3. Поскольку $p > 3$, то $k \geq 2$ (например, для $p=7$, $k=2$), значит $3k^2 + 2k + 1 > 1$, и следовательно $q > 3$. Таким образом, $q$ является составным числом, так как оно делится на 3 и больше 3. В этом случае решений нет.

Случай 3.2: $p$ при делении на 3 дает в остатке 2. Это можно записать в виде $p = 3k + 2$ для некоторого натурального числа $k$. Тогда $p^2 = (3k+2)^2 = 9k^2 + 12k + 4$. Найдем $q$: $q = p^2 + 2 = (9k^2 + 12k + 4) + 2 = 9k^2 + 12k + 6$. Вынесем общий множитель 3: $q = 3(3k^2 + 4k + 2)$. Отсюда видно, что $q$ делится на 3. Поскольку $p > 3$ (например, $p=5=3\cdot1+2$), то $k \geq 1$, значит $3k^2 + 4k + 2 > 1$, и следовательно $q > 3$. Таким образом, $q$ является составным числом. В этом случае решений также нет.

Мы рассмотрели все возможные случаи для простого числа $p$ и пришли к выводу, что единственное решение существует только при $p=3$.

Ответ: $p = 3, q = 11$.