gdz.top
Номер 49.18, страница 383 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 6. Приложение. Элементы теории чисел. Метод математической индукции. Параграф 49. Простые и составные числа - номер 49.18, страница 383.
№49.17
№49.18 (с. 383)
Условие. №49.18 (с. 383)
49.18. Натуральные числа $a, b$ и $c$ таковы, что $(a+b+c) : 13$. Докажите, что число $a^{13} + b^{13} + c^{13}$ также кратно 13.
Решение. №49.18 (с. 383)
Для доказательства воспользуемся Малой теоремой Ферма. Она гласит, что если $p$ — простое число, то для любого целого числа $n$ выполняется сравнение $n^p \equiv n \pmod{p}$.
В нашей задаче число 13 является простым. Следовательно, мы можем применить Малую теорему Ферма для $p = 13$ и натуральных чисел $a$, $b$ и $c$.
Согласно теореме, для каждого из чисел $a$, $b$ и $c$ справедливы следующие сравнения по модулю 13:
$a^{13} \equiv a \pmod{13}$
$b^{13} \equiv b \pmod{13}$
$c^{13} \equiv c \pmod{13}$
Сложим эти три сравнения, что является корректной операцией в арифметике остатков:
$a^{13} + b^{13} + c^{13} \equiv a + b + c \pmod{13}$
По условию задачи, сумма $(a+b+c)$ делится на 13. На языке сравнений это записывается как:
$a + b + c \equiv 0 \pmod{13}$
Теперь, используя свойство транзитивности сравнений, мы можем объединить полученные результаты. Так как $a^{13} + b^{13} + c^{13}$ сравнимо с $a + b + c$ по модулю 13, а $a + b + c$, в свою очередь, сравнимо с 0 по тому же модулю, то и $a^{13} + b^{13} + c^{13}$ сравнимо с 0.
$a^{13} + b^{13} + c^{13} \equiv 0 \pmod{13}$
Это сравнение означает, что число $a^{13} + b^{13} + c^{13}$ делится на 13 без остатка, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано. На основе Малой теоремы Ферма, $n^{13} \equiv n \pmod{13}$ для любого целого $n$. Следовательно, $a^{13} + b^{13} + c^{13} \equiv a + b + c \pmod{13}$. Так как по условию $a + b + c$ кратно 13, то есть $a + b + c \equiv 0 \pmod{13}$, из этого следует, что $a^{13} + b^{13} + c^{13} \equiv 0 \pmod{13}$, то есть $a^{13} + b^{13} + c^{13}$ также кратно 13.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 49.18 расположенного на странице 383 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №49.18 (с. 383), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.