gdz.top
Номер 49.11, страница 382 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 6. Приложение. Элементы теории чисел. Метод математической индукции. Параграф 49. Простые и составные числа - номер 49.11, страница 382.
№49.10
№49.11 (с. 382)
Условие. №49.11 (с. 382)
49.11. Числа $p$ и $8p^2+1$ — простые. Найдите $p$.
Решение. №49.11 (с. 382)
По условию задачи, числа $p$ и $8p^2 + 1$ являются простыми. Проверим первые несколько простых чисел.
1. Пусть $p=2$. Тогда $8p^2 + 1 = 8 \cdot 2^2 + 1 = 8 \cdot 4 + 1 = 33$. Число 33 не является простым, так как $33 = 3 \cdot 11$. Следовательно, $p=2$ не является решением.
2. Пусть $p=3$. Тогда $8p^2 + 1 = 8 \cdot 3^2 + 1 = 8 \cdot 9 + 1 = 72 + 1 = 73$. Число 73 является простым. Таким образом, $p=3$ является решением.
3. Теперь докажем, что других решений для $p > 3$ не существует. Любое простое число $p$, большее 3, не делится на 3. Следовательно, при делении на 3 оно может давать в остатке 1 или 2. Рассмотрим, какой остаток при делении на 3 дает квадрат такого числа, $p^2$:
- Если $p$ дает остаток 1 при делении на 3 (то есть $p \equiv 1 \pmod{3}$), то $p^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{3}$.
- Если $p$ дает остаток 2 при делении на 3 (то есть $p \equiv 2 \pmod{3}$), то $p^2 \equiv 2^2 = 4 \equiv 1 \pmod{3}$.
В обоих случаях квадрат простого числа $p > 3$ при делении на 3 дает в остатке 1.
Теперь рассмотрим выражение $8p^2 + 1$ по модулю 3:
$8p^2 + 1 \equiv 8 \cdot 1 + 1 \pmod{3} \equiv 9 \pmod{3} \equiv 0 \pmod{3}$.
Это означает, что для любого простого числа $p > 3$ число $8p^2 + 1$ всегда делится на 3. Поскольку при $p > 3$ значение выражения $8p^2 + 1$ заведомо больше 3 (например, при $p=5$, $8 \cdot 5^2 + 1 = 201$), то оно является составным числом.
Таким образом, единственное простое число $p$, удовлетворяющее условию, — это $p=3$.
Ответ: 3
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 49.11 расположенного на странице 382 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №49.11 (с. 382), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.