Номер 49.10, страница 382 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

49.10 Целые числа $m$ и $n$ таковы, что значение выражения $m^2 - 15mn + n^2$ кратно 17. Докажите, что значение выражения $m + n$ кратно 17.

По условию задачи, $m$ и $n$ — целые числа, и значение выражения $m^2 - 15mn + n^2$ кратно 17. Это означает, что $(m^2 - 15mn + n^2) \vdots 17$.

Наша цель — доказать, что $(m+n) \vdots 17$.

Преобразуем данное выражение, чтобы связать его с выражением $m+n$. Для этого воспользуемся формулой квадрата суммы: $(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$.

Выразим $m^2+n^2$ из этой формулы: $m^2+n^2 = (m+n)^2 - 2mn$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$m^2 - 15mn + n^2 = (m^2 + n^2) - 15mn = ((m+n)^2 - 2mn) - 15mn = (m+n)^2 - 17mn$.

По условию, значение этого выражения кратно 17. То есть, $((m+n)^2 - 17mn)$ делится на 17.

Рассмотрим получившееся выражение. Оно представляет собой разность двух слагаемых: $(m+n)^2$ и $17mn$.

Второе слагаемое, $17mn$, очевидно делится на 17, так как одним из его множителей является 17, а $m$ и $n$ — целые числа.

Мы имеем разность, которая делится на 17, и вычитаемое ($17mn$), которое также делится на 17. Согласно свойствам делимости, если разность и вычитаемое делятся на некоторое число, то и уменьшаемое должно делиться на это же число.

Следовательно, $(m+n)^2$ должно делиться на 17.

Число 17 является простым. Для простых чисел справедливо следующее свойство: если квадрат целого числа делится на простое число $p$, то и само это целое число делится на $p$.

Поскольку $(m+n)^2$ делится на простое число 17, то и само число $(m+n)$ должно делиться на 17.

Таким образом, мы доказали, что значение выражения $m+n$ кратно 17, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Ключевым шагом является преобразование выражения $m^2 - 15mn + n^2$ к виду $(m+n)^2 - 17mn$. По условию, это выражение делится на 17. Так как слагаемое $17mn$ также делится на 17, то и $(m+n)^2$ должно делиться на 17. Поскольку 17 — простое число, отсюда следует, что и $m+n$ делится на 17.