Номер 49.4, страница 382 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

49.4. Докажите, что каждое простое число $p(p > 3)$ можно записать в виде $6k + 1$ или $6k - 1, k \in N$.

Любое натуральное число $n$ при делении на 6 даёт один из остатков: 0, 1, 2, 3, 4 или 5. Это означает, что любое натуральное число можно представить в одном из следующих шести видов, где $k$ — некоторое натуральное число или ноль:

$n = 6k$
$n = 6k + 1$
$n = 6k + 2$
$n = 6k + 3$
$n = 6k + 4$
$n = 6k + 5$

Рассмотрим простое число $p$, такое что $p > 3$. Проанализируем, какой из перечисленных видов оно может иметь.

- Число $p$ не может иметь вид $p = 6k$, так как в этом случае оно делится на 6, а следовательно, на 2 и на 3. Простое число может делиться только на 1 и на само себя. Такое число не является простым (кроме случаев $p=2$ и $p=3$, которые не удовлетворяют условию $p > 3$).

- Число $p$ не может иметь вид $p = 6k + 2 = 2(3k + 1)$, так как в этом случае оно является чётным числом. Единственное простое чётное число — это 2, но по условию $p > 3$. Следовательно, любое число такого вида при $k \ge 1$ будет составным.

- Число $p$ не может иметь вид $p = 6k + 3 = 3(2k + 1)$, так как в этом случае оно делится на 3. Единственное простое число, кратное 3, — это 3, но по условию $p > 3$. Следовательно, любое число такого вида при $k \ge 1$ будет составным.

- Число $p$ не может иметь вид $p = 6k + 4 = 2(3k + 2)$, так как в этом случае оно также является чётным числом, большим 2, а значит, составным.

Таким образом, для простого числа $p > 3$ остаются только две возможные формы: $p = 6k + 1$ или $p = 6k + 5$.

Рассмотрим форму $p = 6k + 5$. Её можно записать иначе: $p = 6k + 6 - 1 = 6(k+1) - 1$. Если мы введём новую переменную $m = k+1$, то получим $p = 6m - 1$. Так как по условию $k \in N$ (натуральные числа, начиная с 1), то $m$ также будет натуральным числом ($m \ge 2$).

Следовательно, любое простое число $p > 3$ можно записать либо в виде $6k + 1$, либо в виде $6k - 1$ для некоторого натурального числа $k$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Любое простое число $p > 3$ не делится ни на 2, ни на 3. При делении на 6 любое натуральное число может быть представлено в виде $6k+r$, где остаток $r \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$.
- Числа вида $6k$, $6k+2$ и $6k+4$ являются чётными. Поскольку $p>3$, оно не может быть чётным.
- Числа вида $6k$ и $6k+3$ делятся на 3. Поскольку $p>3$, оно не может делиться на 3.
Следовательно, для простого числа $p>3$ остаются только две возможные формы: $p = 6k+1$ и $p = 6k+5$. Форма $p = 6k+5$ эквивалентна форме $p=6(k+1)-1=6m-1$ для некоторого натурального $m$. Таким образом, доказано, что любое простое число $p>3$ имеет вид $6k+1$ или $6k-1$, где $k \in N$.