Номер 48.18, страница 375 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

48.18. Три автомата печатают на карточках пары целых чисел. Каждый автомат, прочитав некоторую карточку, выдаёт новую карточку. Прочитав карточку с парой чисел $(m; n)$, первый автомат выдаёт карточку с числами $(m - n; n)$, второй — карточку с числами $(m + n; n)$, третий — карточку с числами $(n; m)$. Сначала есть карточка с парой чисел $(46; 51)$. Можно ли, используя автоматы в некотором порядке, получить карточку с парой чисел $(15; 33)$?

Для решения этой задачи необходимо найти свойство (инвариант), которое сохраняется при выполнении любой из трех операций, производимых автоматами. Проверим, как изменяется наибольший общий делитель (НОД) пары чисел $(m; n)$ после каждого преобразования.

Первый автомат заменяет пару $(m; n)$ на $(m - n; n)$. Согласно свойству наибольшего общего делителя (основанному на алгоритме Евклида), $НОД(m, n) = НОД(m - kn, n)$ для любого целого $k$. В данном случае $k=1$, поэтому $НОД(m, n) = НОД(m - n, n)$. Таким образом, НОД пары чисел при этой операции не меняется.

Второй автомат заменяет пару $(m; n)$ на $(m + n; n)$. Это соответствует свойству $НОД(m, n) = НОД(m - kn, n)$ при $k=-1$. Следовательно, $НОД(m, n) = НОД(m + n, n)$. НОД также сохраняется.

Третий автомат заменяет пару $(m; n)$ на $(n; m)$. По определению, $НОД(m, n) = НОД(n, m)$. НОД не меняется.

Мы установили, что наибольший общий делитель пары чисел является инвариантом для всех трех операций. Это означает, что любая карточка, полученная из начальной, будет иметь тот же НОД, что и начальная.

Теперь вычислим НОД для начальной и искомой пар чисел.

Начальная карточка: $(46; 51)$.
Разложим числа на простые множители:$46 = 2 \cdot 23$
$51 = 3 \cdot 17$
Общих множителей у чисел 46 и 51 нет, значит, они взаимно простые.$НОД(46, 51) = 1$.

Искомая карточка: $(15; 33)$.
Разложим числа на простые множители:$15 = 3 \cdot 5$
$33 = 3 \cdot 11$
Общий множитель равен 3.$НОД(15, 33) = 3$.

Поскольку НОД начальной пары $(1)$ не равен НОД искомой пары $(3)$, а НОД должен сохраняться при всех преобразованиях, получить карточку с парой чисел $(15; 33)$ из карточки $(46; 51)$ невозможно.

Ответ: нет, нельзя.