Номер 48.14, страница 374 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

48.14. Наименьшее общее кратное некоторых двух натуральных чисел в 16 раз больше их наибольшего общего делителя. Докажите, что одно из этих чисел кратно другому.

Пусть $a$ и $b$ — искомые натуральные числа.

Обозначим их наибольший общий делитель (НОД) как $d = \text{НОД}(a, b)$, а их наименьшее общее кратное (НОК) как $m = \text{НОК}(a, b)$.

По условию задачи, наименьшее общее кратное в 16 раз больше наибольшего общего делителя, что можно записать в виде формулы:$m = 16d$.

Для любых двух натуральных чисел $a$ и $b$ справедливо фундаментальное свойство, связывающее их произведение с НОД и НОК:$a \cdot b = \text{НОД}(a, b) \cdot \text{НОК}(a, b)$. Используя наши обозначения, получаем:$a \cdot b = d \cdot m$.

Подставим в это равенство условие $m = 16d$:$a \cdot b = d \cdot (16d)$,$a \cdot b = 16d^2$.

Любые два натуральных числа $a$ и $b$ можно представить через их НОД $d$ следующим образом:$a = d \cdot x$ и $b = d \cdot y$,где $x$ и $y$ — взаимно простые натуральные числа, то есть $\text{НОД}(x, y) = 1$.

Теперь подставим эти выражения для $a$ и $b$ в уравнение $a \cdot b = 16d^2$:$(d \cdot x) \cdot (d \cdot y) = 16d^2$,$d^2 \cdot x \cdot y = 16d^2$.

Поскольку $d$ является наибольшим общим делителем натуральных чисел, то $d \ge 1$, и, следовательно, $d^2 \ne 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $d^2$:$x \cdot y = 16$.

Итак, мы получили, что произведение двух взаимно простых натуральных чисел $x$ и $y$ равно 16. Рассмотрим все возможные пары натуральных множителей числа 16: $(1, 16)$, $(2, 8)$, $(4, 4)$. Проверим, какая из этих пар состоит из взаимно простых чисел.

Для пары $(1, 16)$ имеем $\text{НОД}(1, 16) = 1$. Эта пара удовлетворяет условию взаимной простоты.

Для пары $(2, 8)$ имеем $\text{НОД}(2, 8) = 2$. Эта пара не является взаимно простой.

Для пары $(4, 4)$ имеем $\text{НОД}(4, 4) = 4$. Эта пара не является взаимно простой.

Следовательно, единственная возможная пара $(x, y)$ (с точностью до порядка) — это $(1, 16)$. Это приводит к двум возможным случаям.

Случай 1: $x = 1$ и $y = 16$.
В этом случае: $a = d \cdot 1 = d$, а $b = d \cdot 16 = 16d$.
Тогда $b = 16a$, что означает, что число $b$ кратно числу $a$.

Случай 2: $x = 16$ и $y = 1$.
В этом случае: $a = d \cdot 16 = 16d$, а $b = d \cdot 1 = d$.
Тогда $a = 16b$, что означает, что число $a$ кратно числу $b$.

Таким образом, в любом возможном случае одно из чисел кратно другому, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.