gdz.top
Номер 48.13, страница 374 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 6. Приложение. Элементы теории чисел. Метод математической индукции. Параграф 48. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух натуральных чисел. Взаимно простые числа - номер 48.13, страница 374.
№48.12
№48.13 (с. 374)
Условие. №48.13 (с. 374)
48.13. Из 100 последовательных натуральных чисел выбрали 51 число.
Докажите, что среди выбранных чисел есть такие числа $a$ и $b$, что
НОД $(a; b) = 1$.
Решение. №48.13 (с. 374)
Для решения этой задачи воспользуемся принципом Дирихле (также известным как принцип ящиков).
Рассмотрим 100 последовательных натуральных чисел. Мы можем разбить их на 50 пар последовательных чисел. Например, если числа начинаются с $k+1$, то пары будут выглядеть так:
$(k+1, k+2), (k+3, k+4), (k+5, k+6), \ldots, (k+99, k+100)$
Всего получается 50 таких пар, и они включают в себя все 100 чисел.
По условию, мы выбираем 51 число. Согласно принципу Дирихле, если у нас есть 51 предмет (выбранные числа), которые нужно разложить по 50 ящикам (пары последовательных чисел), то по крайней мере в одном ящике окажется как минимум два предмета.
Это означает, что среди 51 выбранного числа обязательно найдутся два числа, которые образуют пару последовательных чисел. Обозначим эти числа как $a$ и $b$. Пусть $b = a+1$.
Теперь нам нужно найти их наибольший общий делитель (НОД). Для любых двух последовательных натуральных чисел $a$ и $a+1$ их наибольший общий делитель всегда равен 1. Это можно доказать так: пусть $d$ — общий делитель $a$ и $a+1$. Тогда $a$ делится на $d$, и $a+1$ делится на $d$. Следовательно, их разность $(a+1) - a = 1$ также должна делиться на $d$. Единственное натуральное число, на которое делится 1, это 1. Значит, $d=1$.
Таким образом, $НОД(a; a+1) = 1$.
Мы доказали, что среди 51 выбранного числа всегда найдутся два числа, $a$ и $b$, которые являются последовательными, и для них выполняется условие $НОД(a; b) = 1$.
Ответ: Что и требовалось доказать. Среди 51 числа, выбранного из 100 последовательных, обязательно найдутся два взаимно простых числа.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 48.13 расположенного на странице 374 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №48.13 (с. 374), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.